Calculați online complementul algebric al unei matrice. Minori și complemente algebrice
determinant de elementele unui rând sau coloană
Alte proprietăți sunt legate de conceptele de complement minor și algebric
Definiție. Minor elementul se numește determinant alcătuit din elemente care rămân după tăierei-th drenuri sija-a coloană la intersecția căreia se află acest element. Minor al elementului determinantului n-a ordinea are ordine ( n- 1). O vom nota prin .
Exemplul 1. Lăsa 
, Apoi 
.
Acest minor se obține de la A prin tăierea celui de-al doilea rând și a treia coloană.
Definiție.
Complement algebric
elementul se numește minorul corespunzător, înmulțit cu nat.e 
, Undei–numărul liniei șij-stâlpi la intersecția cărora se află acest element.
VІІІ. (Descompunerea determinantului în elemente ale unei anumite șiruri). Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui anumit rând și a complementelor algebrice corespunzătoare.
.
Exemplul 2. Să fie atunci
.
Exemplul 3. Să găsim determinantul matricei extinzându-l în elementele primului rând.
Formal, această teoremă și alte proprietăți ale determinanților sunt aplicabile numai pentru determinanții matricilor de ordinul trei nu mai mari, deoarece nu am luat în considerare alți determinanți. Următoarea definiție ne va permite să extindem aceste proprietăți la determinanți de orice ordine.
Definiție. Determinant matrici A Ordinul al n-lea este un număr calculat prin aplicarea secvențială a teoremei de expansiune și a altor proprietăți ale determinanților.
Puteți verifica că rezultatul calculelor nu depinde de ordinea în care sunt aplicate proprietățile de mai sus și pentru ce rânduri și coloane. Folosind această definiție, determinantul este găsit în mod unic.
Deși această definiție nu conține o formulă explicită pentru găsirea determinantului, ea permite găsirea acestuia reducându-l la determinanții matricilor de ordin inferior. Astfel de definiții sunt numite recurent.
Exemplul 4. Calculați determinantul: .
Deși teorema de factorizare poate fi aplicată oricărui rând sau coloană dintr-o matrice dată, se obțin mai puține calcule prin factorizarea de-a lungul coloanei care conține cât mai multe zerouri.
Deoarece matricea nu are elemente zero, le obținem folosind proprietatea 7). Înmulțiți prima linie succesiv cu numerele (–5), (–3) și (–2) și adăugați-o la rândul 2, 3 și 4 și obțineți:
Să extindem determinantul rezultat de-a lungul primei coloane și să obținem:
(luăm (–4) din prima linie, (–2) din a doua linie, (–1) din a treia linie conform proprietății 4) 
(deoarece determinantul conține două coloane proporționale).
§ 1.3. Unele tipuri de matrice și determinanții lor
Definiție. m pătrat o matrice cu zero elemente sub sau deasupra diagonalei principale(=0 la i j, sau =0 la i j) numittriunghiular .
Să continuăm conversația despre acțiunile cu matrice. Și anume, în timpul studiului acestei prelegeri veți învăța cum să găsiți matricea inversă. Învăța. Chiar dacă matematica este dificilă.
Ce este o matrice inversă? Aici putem face o analogie cu numerele inverse: luați în considerare, de exemplu, numărul optimist 5 și numărul său invers. Produsul acestor numere este egal cu unu: . Totul este similar cu matricele! Produsul unei matrice și matricea sa inversă este egal cu – matrice de identitate, care este analogul matriceal al unității numerice. Cu toate acestea, mai întâi, să rezolvăm mai întâi o problemă practică importantă, și anume, să învățăm cum să găsiți această matrice foarte inversă.
Ce trebuie să știți și să puteți face pentru a găsi matricea inversă? Trebuie să poți decide calificative. Trebuie să înțelegi ce este matriceși să poată efectua unele acțiuni cu ei.
Există două metode principale pentru a găsi matricea inversă:
prin utilizarea adunări algebriceȘi folosind transformări elementare.
Astăzi vom studia prima metodă, mai simplă.
Să începem cu cele mai teribile și de neînțeles. Sa luam in considerare pătrat matrice. Matricea inversă poate fi găsită folosind următoarea formulă:
Unde este determinantul matricei, este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.
Conceptul de matrice inversă există numai pentru matrice pătrată, matrice „două câte două”, „trei câte trei”, etc.
Denumiri: După cum probabil ați observat deja, matricea inversă este indicată printr-un superscript
Să începem cu cel mai simplu caz - o matrice două câte două. Cel mai adesea, desigur, este necesar „trei cu trei”, dar, cu toate acestea, recomand cu tărie să studiați o sarcină mai simplă pentru a înțelege principiul general al soluției.
Exemplu:
Aflați inversul unei matrice
Să decidem. Este convenabil să descompuneți secvența de acțiuni punct cu punct.
1) Mai întâi găsim determinantul matricei.
Dacă înțelegerea dvs. despre această acțiune nu este bună, citiți materialul Cum se calculează determinantul?
Important! Dacă determinantul matricei este egal cu ZERO– matrice inversă NU EXISTA.
În exemplul luat în considerare, după cum sa dovedit, , ceea ce înseamnă că totul este în ordine.
2) Găsiți matricea minorilor.
Pentru a ne rezolva problema, nu este necesar să știm ce este un minor, totuși, este indicat să citiți articolul Cum se calculează determinantul.
Matricea minorilor are aceleași dimensiuni ca și matricea, adică în acest caz.
Singurul lucru de făcut este să găsiți patru numere și să le puneți în loc de asteriscuri.
Să revenim la matricea noastră
Să ne uităm mai întâi la elementul din stânga sus:
Cum să-l găsești minor?
Și acest lucru se face astfel: tăiați MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:
Numărul rămas este minor al acestui element, pe care o scriem în matricea noastră de minori:
Luați în considerare următorul element de matrice:
Trimiteți mental rândul și coloana în care apare acest element:
Ceea ce rămâne este minorul acestui element, pe care îl scriem în matricea noastră:
În mod similar, luăm în considerare elementele din al doilea rând și găsim minorii acestora:
Gata.
E simplu. În matricea minorilor ai nevoie SCHIMBARE SEMNE doua numere:
Acestea sunt numerele pe care le-am încercuit!
– matrice de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.
Si doar...
4) Aflați matricea transpusă de adunări algebrice.
– matrice transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.
5) Răspuns.
Să ne amintim formula noastră
Totul a fost găsit!
Deci matricea inversă este: 
Este mai bine să lăsați răspunsul așa cum este. NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la 2, deoarece rezultatul sunt numere fracționale. Această nuanță este discutată mai detaliat în același articol. Acțiuni cu matrice.
Cum se verifică soluția?
Trebuie să efectuați înmulțirea matricei sau
Examinare: 
Primit deja menționat matrice de identitate este o matrice cu unii prin diagonala principalăși zerouri în alte locuri.
Astfel, matricea inversă este găsită corect.
Dacă desfășurați acțiunea, rezultatul va fi și o matrice de identitate. Acesta este unul dintre puținele cazuri în care înmulțirea matricei este comutativă, mai multe detalii găsiți în articol Proprietăţi ale operaţiilor pe matrice. Expresii matriceale. De asemenea, rețineți că în timpul verificării, constanta (fracția) este adusă înainte și procesată la sfârșit - după înmulțirea matricei. Aceasta este o tehnică standard.
Să trecem la un caz mai comun în practică - matricea de trei câte trei:
Exemplu:
Aflați inversul unei matrice 
Algoritmul este exact același ca pentru cazul „două câte doi”.
Găsim matricea inversă folosind formula: , unde este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.
1) Aflați determinantul matricei.
Aici se dezvăluie determinantul pe prima linie.
De asemenea, nu uitați asta, ceea ce înseamnă că totul este bine - matrice inversă există.
2) Găsiți matricea minorilor.
Matricea minorilor are o dimensiune de „trei câte trei” 
, și trebuie să găsim nouă numere.
Voi arunca o privire mai atentă la câțiva minori:
Luați în considerare următorul element de matrice: 
Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care se află acest element: 
Scriem cele patru numere rămase în determinantul „două câte doi”. 
Acest determinant doi câte doi și este minorul acestui element. Trebuie calculat: 
Asta e, minorul a fost găsit, îl scriem în matricea noastră de minori: 
După cum probabil ați ghicit, trebuie să calculați nouă doi câte doi determinanți. Procesul, desigur, este plictisitor, dar cazul nu este cel mai sever, poate fi și mai rău.
Ei bine, pentru a consolida – găsirea unui alt minor în imagini: 
Încercați să calculați singuri minorii rămași.
Rezultat final: 
– matricea minorilor elementelor corespondente ale matricei.
Faptul că toți minorii s-au dovedit a fi negativi este pur accident.
3) Aflați matricea adunărilor algebrice.
În matricea minorilor este necesar SCHIMBARE SEMNE strict pentru următoarele elemente: 
În acest caz:
Nu luăm în considerare găsirea matricei inverse pentru o matrice „patru cu patru”, deoarece o astfel de sarcină poate fi dată doar de un profesor sadic (pentru ca elevul să calculeze un determinant „patru cu patru” și 16 determinanți „trei cu trei” ). În practica mea, a existat un singur astfel de caz, iar clientul testului a plătit destul de scump pentru chinul meu =).
Într-o serie de manuale și manuale puteți găsi o abordare ușor diferită pentru găsirea matricei inverse, dar vă recomand să utilizați algoritmul de soluție prezentat mai sus. De ce? Pentru că probabilitatea de a te confunda în calcule și semne este mult mai mică.
Matrice minori
Să fie dat un pătrat matrice A, ordinea a n-a. Minor un element a ij, determinant al matricei se numește ordinul a n-a determinant(n - 1) ordinul, obținut din cel original prin tăierea rândului și coloanei la intersecția cărora se află elementul selectat a ij. Notat cu M ij.
Să ne uităm la un exemplu determinant al matricei 3 - ordinea sa:
Apoi conform definiției minor, minor M 12, corespunzător elementului a 12, va fi determinant:
În același timp, cu ajutorul minori poate ușura sarcina de calcul determinant al matricei. Trebuie să-l răspândim determinant matriceal de-a lungul unei linii și apoi determinant va fi egală cu suma tuturor elementelor acestei linii de către minorii lor. Descompunere determinant al matricei 3 - ordinea sa va arăta astfel:
|
|
|
Semnul din fața produsului este (-1) n, unde n = i + j.
Adunări algebrice:
Complement algebric elementul a ij se numește its minor, luată cu semnul „+” dacă suma (i + j) este un număr par și cu semnul „-” dacă această sumă este un număr impar. Notat cu A ij. A ij = (-1) i+j × M ij.
Apoi putem reformula proprietatea menționată mai sus. Determinant de matrice egal cu suma produsului elementelor unui anumit rând (rând sau coloană) matrici la corespunzătoare lor adunări algebrice. Exemplu:
4. Matricea inversă și calculul acesteia.
Fie A pătrat matrice ordinea a n-a.
Pătrat matrice A se numește nedegenerat dacă determinant matriceal(Δ = det A) nu este zero (Δ = det A ≠ 0). În caz contrar (Δ = 0) matrice A se numește degenerat.
Matrice, aliat cu matrice Ah, se numește matrice
Unde A ij - complement algebric element a ij dat matrici(este definit în același mod ca complement algebric element determinant al matricei).
Matrice A -1 este numit matrice inversă A, dacă este îndeplinită condiția: A × A -1 = A -1 × A = E, unde E este unitate matrice aceeași ordine ca matrice A. Matrice A -1 are aceleași dimensiuni ca matrice A.
matrice inversă
Dacă există pătrate matrici X și A, îndeplinind condiția: X × A = A × X = E, unde E este unitatea matrice de aceeași ordine, atunci matrice X este numit matrice inversă la matricea A și se notează cu A -1. Orice nedegenerat matrice Are matrice inversăși, în plus, doar unul, adică pentru a avea un pătrat matrice A avut matrice inversă, este necesar și suficient pentru aceasta determinant era diferit de zero.
Pentru obtinerea matrice inversă utilizați formula:
Unde M ji este suplimentar minor element a ji matrici A.
5. Rangul matricei. Calcularea rangului folosind transformări elementare.
Se consideră o matrice dreptunghiulară mxn. Să selectăm câteva k rânduri și k coloane din această matrice, 1 £ k £ min (m, n) . Din elementele situate la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, compunem un determinant de ordin k. Toți astfel de determinanți sunt numiți minori de matrice. De exemplu, pentru o matrice puteți compune minori de ordinul doi 
și minorii de ordinul I 1, 0, -1, 2, 4, 3.
Definiție. Rangul unei matrice este cel mai înalt ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice. Notați rangul matricei r(A).
În exemplul dat, rangul matricei este de doi, deoarece, de exemplu, este minor
Este convenabil să se calculeze rangul unei matrice folosind metoda transformărilor elementare. Transformările elementare includ următoarele:
1) rearanjarea rândurilor (coloanelor);
2) înmulțirea unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero;
3) adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare unui alt rând (coloană), înmulțite anterior cu un anumit număr.
Aceste transformări nu modifică rangul matricei, întrucât se știe că 1) atunci când rândurile sunt rearanjate, determinantul își schimbă semnul și, dacă nu era egal cu zero, atunci nu va mai fi; 2) la înmulțirea unui șir al unui determinant cu un număr care nu este egal cu zero, determinantul se înmulțește cu acest număr; 3) a treia transformare elementară nu schimbă deloc determinantul. Astfel, efectuând transformări elementare pe o matrice se poate obține o matrice pentru care este ușor de calculat rangul acesteia și, în consecință, al matricei originale.
Definiție. O matrice obtinuta dintr-o matrice folosind transformari elementare se numeste echivalenta si se noteaza A ÎN.
Teorema. Rangul matricei nu se modifică în timpul transformărilor elementare ale matricei.
Folosind transformări elementare, puteți reduce matricea la așa-numita formă de pas, atunci când calcularea rangului său nu este dificilă.
Matrice se numește treptat dacă are forma:
Evident, rangul matricei eșalonului este egal cu numărul de rânduri diferite de zero , deoarece există un minor de ordin care nu este egal cu zero:
.
Definiție. Dacă în determinantul de ordinul al n-lea alegem în mod arbitrar k rânduri și k coloane, atunci elementele de la intersecția acestor rânduri și coloane formează o matrice pătrată de ordinul k. Determinantul unei astfel de matrice pătrate se numește minor de ordinul k-lea .
Notat de Mk. Dacă k=1, atunci minorul de ordinul întâi este un element al determinantului.
Elementele de la intersecția dintre (n-k) rânduri și (n-k) coloane rămase formează o matrice pătrată de ordin (n-k). Determinantul unei astfel de matrice se numește minor, adiţional la minor M k . Notat cu Mn-k.
Complement algebric al minorului M kîl vom numi minor suplimentar, luat cu semnul „+” sau „-”, în funcție de faptul că suma numerelor tuturor rândurilor și coloanelor în care se află minorul M k este pară sau impară.
Dacă k=1, atunci complementul algebric al elementului un ik calculat prin formula
A ik =(-1) i+k M ik, unde M ik- ordin minor (n-1).
Teorema. Produsul unui minor de ordinul k și al complementului său algebric este egal cu suma unui anumit număr de termeni ai determinantului D n.
Dovada
1. Să luăm în considerare un caz special. Fie minorul M k să ocupe colțul din stânga sus al determinantului, adică situat în linii numerotate 1, 2, ..., k, atunci minorul M n-k va ocupa linii k+1, k+2, ... , n.
Să calculăm complementul algebric la minorul M k . A-priorie,
A n-k =(-1) s M n-k, unde s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), atunci
(-1)s=1 și A n-k = M n-k. Primim
M k A n-k = M k M n-k. (*)
Luăm un termen arbitrar al minorului M k
, (1)
unde s este numărul de inversiuni în substituție
și un termen minor arbitrar M n-k
unde s * este numărul de inversiuni în substituție
(4)
Înmulțind (1) și (3), obținem
Produsul este format din n elemente situate în diferite rânduri și coloane ale determinantului D. În consecință, acest produs este membru al determinantului D. Semnul produsului (5) este determinat de suma inversiilor în substituții (2) și (4), iar semnul unui produs similar în determinantul D este determinat numărul de inversiuni s k în substituție
Este evident că s k =s+s * .
Astfel, revenind la egalitate (*), obținem că produsul M k A n-k constă numai din termenii determinantului.
2. Fie minor M k situate în rânduri cu numere i 1 , i 2 , ..., i k iar în coloane cu numere j 1, j 2, ..., j k,și eu 1< i 2 < ...< i k Și j 1< j 2 < ...< j k .
Folosind proprietățile determinanților, folosind transpoziții, vom muta minorul în colțul din stânga sus. Obținem determinantul D ¢, în care minorul M k ocupă colțul din stânga sus și M¢ minor suplimentar n-k este coltul din dreapta jos, apoi, conform celor dovedite la punctul 1, obtinem ca produsul M k M¢ n-k este suma unui anumit număr de elemente ale determinantului D ¢, luate cu semnul propriu. Dar D¢ se obține din D folosind ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(i k -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) transpoziții de șiruri și ( j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) transpuneri de coloane. Adică totul a fost făcut
(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2 +...+k). Prin urmare, termenii determinanților D și D ¢ diferă în semnul (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s, prin urmare, produsul (-1) s M k M¢ n-k va consta dintr-un anumit număr de termeni ai determinantului D, luați cu aceleași semne pe care le au în acest determinant.
teorema lui Laplace. Dacă în determinantul de ordinul al n-lea alegem în mod arbitrar k rânduri (sau k coloane) 1£k£n-1, atunci suma produselor tuturor minorilor de ordinul k conținute în rândurile selectate și complementele lor algebrice este egală cu determinantul D .
Dovada
Să alegem linii aleatorii i 1 , i 2 , ..., i kși vom demonstra asta
S-a dovedit anterior că toate elementele din partea stângă a egalității sunt conținute ca termeni în determinantul D. Să arătăm că fiecare termen din determinantul D se încadrează doar într-unul dintre termeni. Într-adevăr, orice ts se pare ca t s =. dacă în acest produs notăm factorii ai căror primi indici i 1 , i 2 , ..., i k, și compuneți produsul lor, apoi puteți observa că produsul rezultat aparține ordinului k-lea minor. În consecință, termenii rămași, prelevați din n-k rânduri și n-k coloane rămase, formează un element aparținând minorului complementar, iar, ținând cont de semn, complementului algebric, deci, orice ts se încadrează doar într-unul dintre produse, ceea ce demonstrează teorema.
Consecinţă(teorema expansiunii determinantului pe rând) . Suma produselor elementelor unui anumit rând al determinantului și a complementelor algebrice corespunzătoare este egală cu determinantul.
(Dovada ca exercițiu.)
Teorema. Suma produselor elementelor din rândul i al determinantului prin complementele algebrice corespunzătoare elementelor din rândul j (i¹j) este egală cu 0.
În acest subiect vom lua în considerare conceptele de complement algebric și minor. Prezentarea materialului se bazează pe termenii explicați la tema „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”. Vom avea nevoie și de câteva formule pentru calcularea determinanților. Deoarece acest subiect conține o mulțime de termeni legați de minori și complemente algebrice, voi adăuga un scurt rezumat pentru a facilita navigarea materialului.
$M_(ij)$ minor al elementului $a_(ij)$
$M_(ij)$ element$a_(ij)$ matrice $A_(n\times n)$ numesc determinantul matricei obținute din matricea $A$ prin ștergerea rândului i și a coloanei j (adică rândul și coloana de la intersecţia căreia se află elementul $a_(ij)$).
De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al patrulea: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 și 84 \\ 3 și 12 și -5 și 58 \end(array) \right)$. Să găsim minorul elementului $a_(32)$, adică. să găsim $M_(32)$. Mai întâi, să notăm minorul $M_(32)$ și apoi să calculăm valoarea acestuia. Pentru a compune $M_(32)$, ștergem al treilea rând și a doua coloană din matricea $A$ (la intersecția celui de-al treilea rând și a doua coloană se află elementul $a_(32)$ ). Vom obține o nouă matrice, al cărei determinant este minorul necesar $M_(32)$:
Acest minor este ușor de calculat folosind formula nr. 2 din subiectul de calcul:
$$ M_(32)=\stanga| \begin(array) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(array) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$
Deci, minorul elementului $a_(32)$ este 579, i.e. $M_(32)=579$.
Adesea, în locul expresiei „element de matrice minor” în literatură, se găsește „element determinant minor”. Esența rămâne aceeași: pentru a obține minorul elementului $a_(ij)$, trebuie să tăiați al-lea rând și j-a coloană din determinantul inițial. Elementele rămase sunt scrise într-un nou determinant, care este minorul elementului $a_(ij)$. De exemplu, să găsim minorul elementului $a_(12)$ al determinantului $\left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(array) \right|$. Pentru a scrie minorul necesar $M_(12)$ trebuie să ștergem primul rând și a doua coloană din determinantul dat:
Pentru a găsi valoarea acestui minor, folosim formula nr. 1 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:
$$ M_(12)=\stanga| \begin(array) (ccc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(array) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$
Deci, minorul elementului $a_(12)$ este 83, i.e. $M_(12)=83$.
Complement algebric $A_(ij)$ al elementului $a_(ij)$
Fie dată o matrice pătrată $A_(n\times n)$ (adică o matrice pătrată de ordinul al n-lea).
Complement algebric$A_(ij)$ element$a_(ij)$ a matricei $A_(n\times n)$ se găsește prin următoarea formulă: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$
unde $M_(ij)$ este minorul elementului $a_(ij)$.
Să găsim complementul algebric al elementului $a_(32)$ al matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, i.e. să găsim $A_(32)$. Am găsit anterior minorul $M_(32)=579$, așa că folosim rezultatul obținut:
De obicei, atunci când se găsesc complemente algebrice, minorul nu este calculat separat și numai atunci complementul în sine. Nota minoră este omisă. De exemplu, să găsim $A_(12)$ dacă $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end (matrice) \dreapta)$. Conform formulei $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Totuși, pentru a obține $M_(12)$ este suficient să tăiați primul rând și a doua coloană a matricei $A$, așa că de ce să introduceți o notație suplimentară pentru minor? Să notăm imediat expresia pentru complementul algebric $A_(12)$:
Minor de ordinul k al matricei $A_(m\times n)$
Dacă în cele două paragrafe precedente am vorbit doar despre matrice pătrată, atunci aici vom vorbi și despre matrice dreptunghiulară, în care numărul de rânduri nu este neapărat egal cu numărul de coloane. Deci, să fie dată matricea $A_(m\times n)$, i.e. o matrice care conține m rânduri și n coloane.
Ordinea k-a minoră matricea $A_(m\times n)$ este un determinant ale cărui elemente sunt situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane ale matricei $A$ (se presupune că $k≤ m$ și $k≤ n$).
De exemplu, luați în considerare matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right)$ și notează ce -sau minor de ordinul al treilea. Pentru a scrie un minor de ordinul al treilea, trebuie să selectăm oricare trei rânduri și trei coloane din această matrice. De exemplu, luați rândurile numerotate 2, 4, 6 și coloanele numerotate 1, 2, 4. La intersecția acestor rânduri și coloane vor fi localizate elementele minorului necesar. În figură, elementele minore sunt prezentate cu albastru:
Minorii de ordinul întâi se găsesc la intersecția unui rând și a unei coloane, adică minorii de ordinul întâi sunt egali cu elementele unei matrice date.
Minorul de ordin al k al matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ se numește principal, dacă pe diagonala principală a unui minor dat există doar elementele diagonale principale ale matricei $A$.
Permiteți-mi să vă reamintesc că elementele diagonale principale sunt acele elemente ale matricei ai căror indici sunt egali: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ și așa mai departe. De exemplu, pentru matricea $A$ considerată mai sus, astfel de elemente vor fi $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8$. Ele sunt evidențiate cu roz în figură:
De exemplu, dacă în matricea $A$ tăiem rândurile și coloanele numerotate 1 și 3, atunci la intersecția lor vor exista elemente de ordinul al doilea minor, pe a căror diagonală principală vor fi doar elemente diagonale. ale matricei $A$ (elementele $a_(11) =-1$ și $a_(33)=18$ ale matricei $A$). Prin urmare, obținem un minor principal de ordinul doi:
Desigur, am putea lua și alte rânduri și coloane, de exemplu, cu numerele 2 și 4, obținând astfel un minor principal diferit de ordinul doi.
Fie unele minore $M$ de ordinul k al matricei $A_(m\times n)$ să nu fie egale cu zero, i.e. $M\neq 0$. În acest caz, toți minorii a căror ordine este mai mare decât k sunt egali cu zero. Apoi minorul $M$ este numit de bază, iar rândurile și coloanele pe care sunt situate elementele minorului de bază sunt numite corzi de bazăȘi coloane de bază.
De exemplu, luați în considerare matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$. Să scriem minorul acestei matrice, ale cărei elemente sunt situate la intersecția rândurilor numerotate 1, 2, 3 și coloanelor numerotate 1, 3, 4. Obținem un minor de ordinul trei:
Să găsim valoarea acestui minor folosind formula nr. 2 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:
$$ M=\stânga| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|=4+3+6-2=11. $$
Deci, $M=11\neq 0$. Acum să încercăm să compunem orice minor a cărui ordine este mai mare de trei. Pentru a crea un minor de ordinul al patrulea, trebuie să folosim al patrulea rând, dar toate elementele acestui rând sunt zero. Prin urmare, orice minor de ordinul al patrulea va avea un rând zero, ceea ce înseamnă că toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero. Nu putem crea minore de ordinul al cincilea sau mai mare, deoarece matricea $A$ are doar 4 rânduri.
Am găsit un minor de ordinul al treilea care nu este egal cu zero. În acest caz, toți minorii de ordine superioară sunt egali cu zero, prin urmare, minorul pe care l-am considerat este de bază. Rândurile matricei $A$ pe care se află elementele acestui minor (primul, al doilea și al treilea) sunt rândurile de bază, iar prima, a treia și a patra coloană a matricei $A$ sunt coloanele de bază.
Acest exemplu, desigur, este banal, deoarece scopul său este de a arăta în mod clar esența minorului de bază. În general, pot exista mai mulți minori de bază și, de obicei, procesul de căutare a unui astfel de minor este mult mai complex și mai extins.
Să introducem un alt concept - limită minor.
Fie unele de ordinul k minor $M$ ale matricei $A_(m\times n)$ să fie situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane. Să adăugăm un alt rând și coloană la setul acestor rânduri și coloane. Se numește minorul rezultat de ordinul (k+1). marginea minoră pentru minor $M$.
De exemplu, să ne uităm la matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end (matrice) \dreapta)$. Să scriem un minor de ordinul doi, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2 și nr. 5, precum și coloanele nr. 2 și nr. 4.
Să adăugăm un alt rând nr. 1 la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $M$, iar coloana nr. 5 la setul de coloane. Obținem un nou minor $M"$ (deja de ordinul trei), ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 5 și coloanele nr. 2, nr. 4, nr. 5. Elementele $M$ minore din figură sunt evidențiate cu roz, iar elementele pe care le adăugăm la $M$ minor sunt verzi:
Minorul $M"$ este minorul de margine pentru minorul $M$. În mod similar, adăugând rândul nr. 4 la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $M$ și coloana nr. 3 la setul de coloane, obținem minorul $M""$ (minor de ordinul trei):
Minorul $M""$ este, de asemenea, un minor învecinat pentru minorul $M$.
Minor de ordinul k al matricei $A_(n\times n)$. Minor suplimentar. Complement algebric la minorul unei matrice pătrate.
Să revenim din nou la matricele pătrate. Să introducem conceptul de minor suplimentar.
Fie dat un anumit $M$ minor de ordinul k al matricei $A_(n\n\n)$. Un determinant de ordinul (n-k)-lea, ale cărui elemente sunt obținute din matricea $A$ după ștergerea rândurilor și coloanelor care conțin minorul $M$, se numește minor, complementar minorului$M$.
De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al cincilea: $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right)$. Să selectăm rândurile nr. 1 și nr. 3, precum și coloanele nr. 2 și nr. 5. La intersecția acestor rânduri și coloane vor fi elemente de $M$ minor de ordinul doi:
Acum să scoatem din matrice $A$ rândurile nr. 1 și nr. 3 și coloanele nr. 2 și nr. 5, la intersecția cărora se află elemente ale $M$ minor (rândurile și coloanele eliminate sunt afișate în roșu în figura de mai jos). Elementele rămase formează minorul $M"$:
Minorul $M"$, a cărui ordine este $5-2=3$, este minorul complementar minorului $M$.
Complement algebric la un minor$M$ a unei matrice pătrate $A_(n\times n)$ se numește expresia $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, unde $\alpha$ este suma numerelor rândurilor și coloanelor al matricei $A$, pe care sunt situate elementele minorului $M$, iar $M"$ este complementarul minorului $M$.
Expresia „complement algebric la minorul $M$” este adesea înlocuită cu expresia „complement algebric la minorul $M$”.
De exemplu, luăm în considerare matricea $A$, pentru care am găsit minorul de ordinul doi $ M=\left| \begin(array) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ și minorul său suplimentar de ordinul al treilea: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (matrice) \right|$ Să notăm complementul algebric al minorului $M$ ca $M^*$.
$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$
Parametrul $\alpha$ este egal cu suma numerelor de rânduri și coloane pe care se află minorul $M$. Acest minor este situat la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 5. Prin urmare, $\alpha=1+3+2+5=11$. Asa de:
$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.
În principiu, folosind formula nr. 2 din tema calculului determinanților ordinului doi și trei, puteți finaliza calculele, obținând valoarea $M^*$:
$$ M^*=-\stânga| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|=-30. $$
