Test: Limita si continuitatea functiilor mai multor variabile. Test: Limita și continuitatea funcțiilor mai multor variabile Testul asupra funcțiilor mai multor variabile se imprimă

Departamentul: Matematică superioară

Eseu

la disciplina „Matematică superioară”

Subiect: „Limita și continuitatea funcțiilor mai multor variabile”

Toliatti, 2008

Introducere

Conceptul de funcție a unei variabile nu acoperă toate dependențele care există în natură. Chiar și în cele mai simple probleme există cantități ale căror valori sunt determinate de combinarea valorilor mai multor cantități.

Pentru a studia astfel de dependențe se introduce conceptul de funcție a mai multor variabile.

Conceptul de funcție a mai multor variabile

Definiție. Magnitudinea u se numește funcție a mai multor variabile independente ( X, y, z, …, t), dacă fiecare set de valori ale acestor variabile este asociat cu o anumită valoare a cantității u.

Dacă variabila este o funcție a două variabile XȘi la, atunci se notează dependența funcțională

z= f(X, y).

Simbol f definește aici un set de acțiuni sau o regulă pentru calcularea unei valori z pentru o pereche de valori dată XȘi la.

Deci, pentru funcție z= X 2 + 3X y

la X= 1 și la= 1 avem z = 4,

la X= 2 și la= 3 avem z = 22,

la X= 4 și la= 0 avem z= 16 etc.

Cantitatea este numită în mod similar u funcţia a trei variabile X, y, z, dacă este dată o regulă, ca pentru un triplu dat de valori X, yȘi z calculați valoarea corespunzătoare u:

u= F(X, y, z).

Aici simbolul F definește un set de acțiuni sau o regulă pentru calcularea unei valori u, corespunzătoare acestor valori X, yȘi z.

Deci, pentru funcție u= X y+ 2xz– 3yz

la X = 1, la= 1 și z= 1 avem u= 0,

la X = 1, la= -2 și z= 3 avem u= 22,

la X = 2, la= -1 și z= -2 avem u= -16 etc.

Astfel, dacă, în virtutea unei legi a fiecărei populaţii P numere ( X, y, z, …, t) dintr-un set E atribuie o anumită valoare unei variabile u, apoi u numită funcţie de P variabile X, y, z, …, t, definit pe platou E, și este notat

u= f(X, y, z, …, t).

Variabile X, y, z, …, t sunt numite argumente de funcție, set E– domeniul de definire a funcţiei.

Valoarea parțială a unei funcții este valoarea funcției la un moment dat M 0(X 0, y 0, z 0, …, t 0) și este desemnat f (M 0) = f (X 0, y 0, z 0, …, t 0).

Domeniul unei funcții este setul tuturor valorilor argumentului care corespund oricăror valori reale ale funcției.

Funcția a două variabile z= f(X, y) în spaţiu este reprezentată de o suprafaţă oarecare. Adică atunci când un punct cu coordonate X, la parcurge întregul domeniu de definire al funcției situate în plan xOy, punctul spațial corespunzător, în general vorbind, descrie suprafața.

Funcția a trei variabile u= F(X, y, z) considerată în funcţie de un punct dintr-un anumit set de puncte din spaţiul tridimensional. În mod similar, funcția P variabile u= f(X, y, z, …, t) este considerată în funcție de un punct al unora P-spațiul dimensional.

Limita unei funcții a mai multor variabile

Pentru a da conceptul de limita a unei functii a mai multor variabile, ne restrângem la cazul a doua variabile XȘi la. Prin definiție, funcție f(X, y) are o limită la punctul ( X 0, la 0), egal cu numărul A, notată după cum urmează:

(scriu si ei f(X, y) →A la (X, y) → (X, la)), dacă este definit într-o vecinătate a punctului ( X, la), cu excepția, poate, în acest punct însuși și dacă există o limită

indiferent de tendința la ( X, la) succesiune de puncte ( Xk, yk).

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, se poate introduce o altă definiție echivalentă a limitei unei funcții a două variabile: funcție f are la un moment dat ( X, la) limită egală cu A, dacă este definit într-o apropiere a punctului ( X, la) cu excepția, poate, pentru acest punct în sine și pentru orice ε > 0 există un δ > 0 astfel încât

| f(X, y) – A| < ε(3)

pentru toți (X, y)

0 < />< δ. (4)

Această definiție, la rândul său, este echivalentă cu următoarea: pentru orice ε > 0 există o vecinătate δ a punctului ( X, la) astfel încât pentru toată lumea ( X, y) din acest cartier, diferit de ( X, la), inegalitatea (3) este satisfăcută.

PAGE_BREAK--

Deoarece coordonatele unui punct arbitrar ( X, y) vecinătatea punctului ( X, la) se poate scrie sub forma x = x+ Δ X, y = y+ Δ la, atunci egalitatea (1) este echivalentă cu următoarea egalitate:

Să considerăm o funcție definită într-o vecinătate a punctului ( X, la), cu excepția, poate, a acestui punct în sine.

Fie ω = (ω X, ω la) – un vector arbitrar de lungime unu (|ω|2= ω X 2+ ω la 2= ​​​​1) și t> 0 – scalar. Puncte de vedere

(X 0+ tω X, y 0+ tω la) (0 < t)

formează o rază care iese din ( X 0, la 0) în direcția vectorului ω. Pentru fiecare ω putem considera funcția

f(X 0+ tω X, y 0+ tω la) (0 < t< δ)

dintr-o variabilă scalară t, unde δ este un număr destul de mic.

Limita acestei funcții (o variabilă) t)

/> f(X+ tω X, y+ tω la),

f la un moment dat ( X, la) în direcția ω.

Exemplul 1. Funcții

definit pe plan ( X, y) cu excepția punctului X= 0, la= 0. Avem (luați în considerare că //și />):

(pentru ε > 0 setăm δ = ε/2 și apoi | f(X, y) | < ε, если />< δ).

din care este clar că limita φ în punctul (0, 0) în direcții diferite este în general diferită (vectorul unitar al razei y= kx, X> 0, are forma

Exemplul 2. Să luăm în considerare R 2 functie

/> (X 4+ la 2≠ 0).

Această funcție în punctul (0, 0) pe orice linie y= kx trecerea prin origine are o limită egală cu zero:

/> la X→ 0.

Cu toate acestea, această funcție nu are o limită la punctele (0, 0), deoarece când y = x 2

Vom scrie /> dacă funcția f este definit într-o apropiere a punctului ( X, la), cu excepția poate pentru punctul în sine ( X, la) și pentru toată lumea N> 0 există δ > 0 astfel încât

|f(X, y) | > N,

de indata ce 0< />< δ.

Continuare
--PAGE_BREAK--

Putem vorbi și despre limită f, Când X, la→ ∞:

A egalitatea (5) trebuie înțeleasă în sensul că pentru fiecare ε > 0 există așa ceva N> 0, care este pentru toată lumea X, la, pentru care | X| > N, |y| > N, funcție f definit și inegalitatea este valabilă

|f(X, y) – A| < ε.

Egalitățile sunt valabile

unde ar putea fi X→ ∞, la→ ∞. Mai mult, ca de obicei, limitele (finite) pe laturile lor stângi există dacă există limite fși φ.

Să demonstrăm (7) ca exemplu.

Lăsa ( Xk, yk) → (X, la) ((Xk, yk) ≠ (X, la)); Apoi

Astfel, limita din partea stângă a lui (9) există și este egală cu partea dreaptă a lui (9), și deoarece succesiunea ( Xk, yk) tinde să ( X, la) conform oricărei legi, atunci această limită este egală cu limita funcției f(X, y) ∙φ (X, y) la un moment dat ( X, la).

Teorema. dacă funcția f(X, y) are o limită diferită de zero la punctul ( X, la), adică

atunci există δ > 0 astfel încât pentru toți X, la, satisfacerea inegalităţilor

0 < />< δ, (10)

satisface inegalitatea

Prin urmare, pentru așa ceva (X, y)

acestea. inegalitatea (11) este valabilă. Din inegalitatea (12) pentru cele indicate (X, y) urmează //din //at A> 0 și />at

A< 0 (сохранение знака).

Prin definiție, funcție f(X) = f(X 1, …, Xn) = A are o limită la punct

X= /> egal cu numărul A, notată după cum urmează:

(scriu si ei f(X) → A(X→ X)), dacă este definită pe vreo vecinătate a punctului X, cu excepția poate ea însăși, și dacă există o limită

oricare ar fi aspiraţia X succesiune de puncte Xk din cartierul specificat ( k= 1, 2, ...), diferit de X.

O altă definiție echivalentă este: funcție f are la punct X limită egală cu A, dacă este definit într-o vecinătate a punctului X, cu posibila excepție de la sine și pentru orice ε > 0 există un δ > 0 astfel încât

Continuare
--PAGE_BREAK--

pentru toți X, satisfacerea inegalităţilor

0 < |X– X| < δ.

Această definiție, la rândul său, este echivalentă cu următoarea: pentru orice ε > 0 există o vecinătate U(X) puncte X astfel încât pentru toată lumea X/>U(X) , X≠ X, inegalitatea (13) este satisfăcută.

Evident, dacă numărul A există o limită f(X) V X, Acea A există o limită a funcției f(X 0 + h) din h la punctul zero:

si invers.

Să luăm în considerare o funcție f, definit în toate punctele din vecinătatea punctului X, cu excepția poate punctul X; fie ω = (ω1, ..., ω P) este un vector arbitrar de lungime unu (|ω| = 1) și t> 0 – scalar. Puncte de vedere X+ tω (0 < t) formă care iese din X raza în direcția vectorului ω. Pentru fiecare ω putem considera funcția

/> (0 < t< δω)

dintr-o variabilă scalară t, unde δω este un număr care depinde de ω. Limita acestei funcții (de la o variabilă t)

dacă există, este firesc să o numim limită f la punct Xîn direcția vectorului ω.

Vom scrie /> dacă funcția f definite într-un cartier X, cu excepția poate X, și pentru toată lumea N> 0 există δ > 0 astfel încât | f(X) | >N, de la 0< |X– X| < δ.

Putem vorbi despre limită f, Când X→ ∞:

De exemplu, în cazul unui număr finit A egalitatea (14) trebuie înțeleasă în sensul că pentru orice ε > 0 putem preciza următoarele N> 0, care este pentru puncte X, pentru care | X| > N, funcție f este definită și inegalitatea este valabilă />.

Deci, limita funcției f(X) = f(X 1, ..., XP) din P variabilele se determină prin analogie în același mod ca și pentru o funcție a două variabile.

Astfel, să trecem la definirea limitei unei funcții a mai multor variabile.

Număr A numită limita funcției f(M) la M→ M, dacă pentru orice număr ε > 0 există întotdeauna un număr δ > 0 astfel încât pentru orice punct M, diferit de M si satisfacerea conditiei | MM| < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – A| < ε.

Limita se notează cu />În cazul unei funcții de două variabile />

Teoreme limită. Dacă funcţiile f 1(M) Și f 2(M) la M→ M fiecare tinde spre o limită finită, atunci:

Continuare
--PAGE_BREAK--

Exemplul 1. Găsiți limita unei funcții: />

Soluţie. Să transformăm limita după cum urmează:

Lăsa y= kx, apoi />

Exemplul 2. Găsiți limita unei funcții: />

Soluţie. Să folosim prima limită remarcabilă />Apoi />

Exemplul 3. Găsiți limita unei funcții: />

Soluţie. Să folosim a doua limită remarcabilă />Apoi />

Continuitatea unei funcții a mai multor variabile

Prin definiție, funcție f(X, y) este continuă în punctul ( X, la), dacă este definit în unele din vecinătatea sa, inclusiv în punctul însuși ( X, la) iar dacă limita f(X, y) în acest punct este egal cu valoarea sa la el:

Condiție de continuitate f la un moment dat ( X, la) se poate scrie în formă echivalentă:

acestea. funcţie f este continuă în punctul ( X, la), dacă funcția este continuă f(X+ Δ X, la+ Δ y) pe variabilele Δ X, Δ la la Δ X= Δ y = 0.

Puteți introduce un increment Δ Și funcții Și= f(X, y) la punct (X, y) , corespunzătoare incrementelor Δ X, Δ la argumente

Δ Și= f(X+ Δ X, la+ Δ y)– f(X, y)

și în acest limbaj definiți continuitatea f V (X, y) : funcţia f continuu la un punct (X, y) , Dacă

Teorema. Suma, diferența, produsul și coeficientul continuului la punctul ( X, la) funcții fși φ este o funcție continuă în acest punct, cu excepția cazului, desigur, în cazul unui coeficient φ ( X, la) ≠ 0.

Constant Cu poate fi considerată ca o funcție f(X, y) = Cu din variabile X, y. Este continuă în aceste variabile deoarece

/>|f(X, y) – f(X, la) | = |s – s| = 0 0.

Următoarele cele mai dificile funcții sunt f(X, y) = XȘi f(X, y) = la. Ele pot fi considerate și funcții ale (X, y) , și în același timp sunt continue. De exemplu, funcția f(X, y) = X se potrivește cu fiecare punct (X, y) un număr egal cu X. Continuitatea acestei funcții într-un punct arbitrar (X, y) poate fi dovedit astfel:

Continuare
--PAGE_BREAK--

/>| f(X+ Δ X, la+ Δ y)– f(X, y) | = |f(X+ Δ x) – x| = | Δ X| ≤ />0.

Dacă produceți peste funcții X, yși acțiuni constante de adunare, scădere și înmulțire într-un număr finit, atunci vom obține funcții numite polinoame în X, y. Pe baza proprietăților formulate mai sus, polinoame în variabile X, y– funcții continue ale acestor variabile pentru toate punctele (X, y) />R 2.

Atitudine P/ Q două polinoame din (X, y) este o funcţie raţională a (X, y) , evident continuu peste tot R 2, cu excepția punctelor (X, y) , Unde Q(X, y) = 0.

R(X, y) = X 3– la 2+ X 2la– 4

ar putea fi un exemplu de polinom din (X, y) gradul al treilea și funcția

R(X, y) = X 4– 2X 2la 2+la 4

există un exemplu de polinom din (X, y) gradul al patrulea.

Să dăm un exemplu de teoremă care precizează continuitatea unei funcții de funcții continue.

Teorema. Lasă funcția f(X, y, z) continuu la un punct (X, y, z) spaţiu R 3 (puncte (X, y, z) ), și funcțiile

X= φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v)

continuu la un punct (u, v) spaţiu R 2 (puncte (u, v) ). Să, în plus,

X= φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v) .

Apoi funcția F(u, v) = f[ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] este continuă (prin

(u, v) ) la un moment dat (u, v) .

Dovada. Întrucât semnul limitei poate fi plasat sub semnul caracteristicii unei funcții continue, atunci

Teorema. Funcţie f(X, y) , continuu in punctul ( X, la) și nu este egală cu zero în acest punct, păstrează semnul numărului f(X, la) într-o vecinătate a punctului ( X, la).

Prin definiție, funcție f(X) = f(X 1, ..., XP) continuu la un punct X= (X 1, ..., XP) , dacă este definit în unele din vecinătatea sa, inclusiv în punctul însuși X, iar dacă limita sa este la punct X egală cu valoarea sa în el:

Condiție de continuitate f la punct X se poate scrie sub formă echivalentă:

acestea. funcţie f(X) continuu la un punct X, dacă funcția este continuă f(X+ h) din h la punct h= 0.

Continuare
--PAGE_BREAK--

Puteți introduce o creștere f la punct X, corespunzător incrementului h= (h 1, ..., hP) ,

Δ hf(X) = f(X+ h) – f(X)

iar în limbajul său definesc continuitatea f V X: funcţia f continuu in X, Dacă

Teorema. Suma, diferența, produsul și câtul continuu într-un punct X funcții f(X) și φ (X) este o funcție continuă în acest punct, dacă, desigur, în cazul unui anumit φ (X) ≠ 0.

Cometariu. Creșterea Δ hf(X) numită și creșterea completă a funcției f la punct X.

In spatiu Rn puncte X= (X 1, ..., XP) să stabilim un set de puncte G.

A-prioriu X= (X 1, ..., XP) este punctul interior al multimii G, dacă există o minge deschisă cu centru în ea, aparținând complet G.

O multime de G/>Rn se numește deschis dacă toate punctele sale sunt interioare.

Ei spun că funcțiile

X 1=φ1 (t), ..., XP= φ P(t)(a ≤ t ≤ b)

continuu pe segmentul [ A, b], definiți o curbă continuă în Rn, conectând punctele X 1= (X 11, ..., X 1P) Și X 2= (X 21, ..., X 2P) , Unde X 11=φ1 (A), ..., X 1P= φ P(A), X 21= φ1 (b) , ..., X 2P= φ P(b) . Scrisoare t numit parametru curba.

O multime de G se numește conectat dacă oricare dintre punctele sale X 1, X 2 poate fi conectat printr-o curbă continuă aparținând G.

Un set deschis conectat se numește regiune.

Teorema. Lasă funcția f(X) definit si continuu pe Rn(în toate punctele Rn). Apoi multe G puncte X, unde satisface inegalitatea

f(X) > Cu(sau f(X) < Cu), oricare ar fi constanta Cu, există un set deschis.

De fapt, funcția F(X) = f(X) – Cu continuu pe Rn, și setul tuturor punctelor X, Unde F(X) > 0, coincide cu G. Lăsa X/>G, apoi este o minge

| X–X| < δ,

pe care F(X) > 0, adică ii apartine Gși punct X/>G– intern pentru G.

Cazul cu f(X) < Cu este dovedit în mod similar.

Astfel, o funcție a mai multor variabile f(M) numit continuu intr-un punct M, dacă îndeplinește următoarele trei condiții:

o functie f(M) definit la punct Mși aproape de acest punct;

b) există o limită />;

Dacă la punct M Dacă cel puțin una dintre aceste condiții este încălcată, atunci funcția în acest moment suferă o discontinuitate. Punctele de rupere pot forma linii de rupere, suprafețe de rupere etc. Funcție f(M) se numeste continuu in regiune G, dacă este continuă în fiecare punct din această regiune.

Exemplul 1. Găsiți punctele de întrerupere ale unei funcții: z= ln(X 2+ y 2) .

Soluţie. Funcţie z= ln(X 2+ y 2) suferă o pauză la un moment dat X= 0, la= 0. Prin urmare, punctul DESPRE(0, 0) este punctul de întrerupere.

Exemplul 2. Găsiți punctele de întrerupere a funcției: />

Soluţie. Funcția nu este definită în punctele în care numitorul ajunge la zero, adică. X 2+ y 2– z 2= ​​​​0. Prin urmare, suprafața conului

X 2+ y 2= z 2 este suprafața de discontinuitate.

Concluzie

Informații de bază despre limite și continuitate se găsesc la cursul de matematică din școală.

În cursul analizei matematice, conceptul de limită este unul dintre principalele. Folosind limita, se introduc derivata si integrala definita; limitele sunt mijloacele principale în construirea teoriei seriilor. Conceptul de limită, care a apărut pentru prima dată în secolul al XVII-lea în lucrarea lui Newton, este folosit și dezvoltat în continuare în teoria seriilor. Această secțiune de analiză examinează problemele legate de suma unei secvențe infinite de cantități (atât constante, cât și funcții).

Continuitatea unei funcții oferă o idee despre graficul acesteia. Aceasta înseamnă că graficul este o linie continuă și nu constă din secțiuni izolate separate. Această proprietate a unei funcții este utilizată pe scară largă în economie.

Prin urmare, conceptele de limită și continuitate joacă un rol important în studiul funcțiilor mai multor variabile.

Lista literaturii folosite

1. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară: manual pentru universități. Volumul 2: Calcul diferențial și integral. Moscova: Dropia, 2004, 512 p.

2. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridma M.N. Matematică superioară pentru economiști. Moscova: Unitate, 2000, 271 p.

3. Cernenko V.D. Matematică superioară în exemple și probleme. Manual pentru universități. Sankt Petersburg: Politekhnika, 2003, 703 p.

4. elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5. www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm

Subiect: „Funcțiile mai multor variabile”

Subiectul 3.Funcțiile mai multor variabile

Definirea unei funcții a două variabile, metode de setare.

Derivate parțiale.

Extremul unei funcții a două variabile

Gradientul unei funcții a unei variabile

Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile dintr-un domeniu

CE TREBUIE SĂ ȘTIE UN STUDENT

Întrebări de control

TEST DE CONTROL

1. Definirea unei funcţii a mai multor variabile, metode de setare

Variabila este numită funcţia a două variabile cantități Și pe un platou
, dacă fiecare pereche de valori
corespunde unei singure valori de cantitate .

Simbolic, o funcție a două variabile se notează după cum urmează:


etc.

Variabilele sunt numite variabile independente sau argumente ale funcției , si multe
- domeniul functiei . Pentru funcţiile a două variabile
domeniul definirii este ceva set de puncte dintr-un plan
, iar intervalul de valori este intervalul de pe axă
.

De exemplu, - o funcție a două variabile.

Pentru reprezentare vizuală funcţiile a două modificări nyh sunt aplicate linii de nivel.

Exemplul 1. Pentru funcție
construiți un grafic și linii de nivel. Scrieți ecuația dreptei de nivel care trece prin punct
.

Graficul unei funcții liniare este avion in spatiu.

Pentru o funcție, graficul este un plan care trece prin puncte
,
,
.

Linii de nivel de funcție sunt drepte paralele a căror ecuație este
.

Pentru funcţie liniară a două variabile
liniile de nivel sunt date de ecuație
si reprezinta o familie de drepte paralele pe un plan.

4

Graficul unei funcții 0 1 2 X

Linii de nivel de funcție

Derivate parțiale

Luați în considerare funcția
. Să dăm variabila la punct
increment arbitrar
, plecând valoare variabilă neschimbat. Se apelează incrementul corespunzător al funcției increment privat al unei funcții prin variabilă la punct
.

Definit în mod similar increment parțial al funcțieidupă variabilă: .

Notație pentru derivata parțială cu privire la : , ,
,
. Pentru a găsi derivata parțială
după variabilă, sunt utilizate regulile de diferențiere a unei funcții a unei variabile, variabilă de numărare constant.

Derivată parțială a unei funcții față de o variabilă numită limită :

.

Denumiri: , ,
,
. Pentru a găsi derivata parțială față de o variabilă o variabilă este considerată constantă .

Exemplul 2. Găsiți valorile derivatelor parțiale ale funcției în punct
.

Considerând o constantă și diferențiind în funcție de o variabilă, găsim derivata parțială în raport cu:

.

Să calculăm valoarea acestei derivate la punctul
: .

Considerând o constantă și diferenționând ca funcție, găsim derivata parțială în raport cu:

.

Să calculăm valoarea derivatei în punctul:

Exemplul 3. Pentru funcție
găsiți derivate parțiale
,
și calculați valorile lor la punctul
.

Derivată parțială a unei funcții
prin variabilă se presupune că este constantă:

Să găsim derivata parțială a funcției în raport cu , presupunând constantă:

Să calculăm valorile derivatelor parțiale la
,
:

;
.

Derivatele parțiale ale funcțiilor mai multor variabile se mai numesc privat derivate de ordinul întâi sau prime derivate parțiale.

Derivate parțiale de ordinul doi funcțiile mai multor variabile se numesc derivate parțiale ale derivatelor parțiale de ordinul întâi, dacă există.

Să notăm derivatele parțiale de ordinul 2 pentru funcția:

;
;

;
.

;
etc.

Dacă derivatele parțiale mixte ale funcțiilor mai multor variabile sunt continue la un moment dat
, atunci ei egale între eleîn acest moment. Aceasta înseamnă că pentru o funcție a două variabile, valorile derivatelor parțiale mixte nu depind de ordinea diferențierii:
.

Exemplul 4. Pentru funcție, găsiți derivatele parțiale de ordinul doi
Și
.

Derivata parțială mixtă se găsește prin diferențierea secvențială a funcției în raport cu (presupunând constantă), apoi diferențiind derivata
de (considerând constantă).

Derivat
se găsește prin diferențierea mai întâi a funcției în raport cu , apoi derivat De .

Derivatele parțiale mixte sunt egale între ele:
.

Diferențierea derivatelor parțiale de ordinul doi atât în ​​raport cu X, și prin la, obținem derivate parțiale de ordinul trei.

Exemplul 5. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții
.

Găsim în mod constant

3. Extremul unei funcții a două variabile

Maxim (minim ) funcții
la punct M 0 (X 0 ,y 0) valoarea sa este numită
, care este mai mare (mai mică) decât toate celelalte valori ale sale acceptate la puncte
, suficient de aproape de punct
si diferit de el.

Punctele maxime și minime se numesc puncte extremum, iar valorile funcției în aceste puncte sunt numite extrem .

Condiții necesare pentru un extremum. Dacă funcţia diferenţiabilă
are un extremum la punct
, atunci derivatele sale parțiale în acest punct sunt egale cu zero, adică.

. Punctele în care
Și
, sunt numite staționar puncte de funcționare
.

Condiții suficiente pentru un extremum. Fie un punct staționar al funcției și fie
,
,
. Să compunem un determinant
. Apoi:

Dacă
, apoi într-un punct staționar
fără extremum;

Dacă
, atunci există un extremum în punct și maximul dacă A< 0,minim dacă
;

Dacă
, atunci sunt necesare cercetări suplimentare.

Exemplul 6. Examinați funcția extremum
.

Găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:
;
Rezolvarea unui sistem de ecuații
obținem două puncte staționare:
Și
. Găsim derivatele parțiale de ordinul doi:
,
,
. Examinăm fiecare punct staționar.

4. Gradientul unei funcții a două variabile

.

Proprietăți de gradient

Exemplul 7. Dată o funcție
. Găsiți gradientul unei funcții într-un punct
și construiește-l.

Să găsim coordonatele gradientului - derivate parțiale.

La punctul
gradient egal cu . Începutul vectorului
la punct , iar sfârșitul la punct .

5

5. Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile dintr-o regiune

Formularea problemei. Fie o regiune delimitată închisă pe plan să fie definită de un sistem de inegalități de formă
. Este necesar să se găsească puncte în regiunea în care funcția ia cele mai mari și cele mai mici valori.

Important este problema găsirii unui extremum, al cărui model matematic conţine constrângeri liniare(ecuații, inegalități) și liniar funcţie
.

Formularea problemei. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții
sub restricții

Deoarece pentru liniar funcțiile mai multor variabile fără puncte critice interior regiune
, atunci soluția optimă, care oferă un extremum funcției obiectiv, este atinsă numai la hotarul regiunii. Pentru o regiune definită de constrângeri liniare, punctele extremului posibil sunt puncte de colț. Acest lucru ne permite să luăm în considerare soluția problemei metoda grafica.

Formularea geometrică a problemei. Aflați în domeniul soluției sistemului de inegalități liniare punctul prin care trece linia de nivel, corespunzător celei mai mari (mai mici) valori a unei funcții liniare cu două variabile.

Secvențiere:

punctul A al „intrarii” liniei de nivel in zona. Acest punct definește punctul de valoare minimă a funcției;

punctul B al „ieșirii” liniei de nivel din zonă. Acest punct determină punctul de cea mai mare valoare a funcției.

4. Aflați coordonatele punctului A rezolvând sistemul de ecuații de drepte care se intersectează în punctul A și calculați cea mai mică valoare a funcției
. În mod similar - pentru punctul B și cea mai mare valoare a funcției
.

Exemplul 8. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții
în domeniul soluţiilor sistemelor de inegalităţi liniare

1. Să construim domeniul soluției unui sistem de inegalități liniare. Pentru a face acest lucru, vom construi semiplane și vom găsi intersecția lor. Să luăm punctul drept „punct de control”
, care nu apartin linie dreaptă de frontieră.

la

1

Direct()
- puncte de construit
Și
. Deoarece
este adevărat, atunci semiplanul este orientat spre punctul de control.

Direct()
construit prin puncte
Și
; inegalitate
corect, semiplanul este îndreptat spre punctul de control..

Direct()
construit prin puncte
Și
; semiplanul este orientat spre punctul de control..

Inegalități
Și
arătați că aria dorită (intersecția tuturor semiplanurilor) este situată în primul sfert de coordonate.

2. Să construim gradient de funcție- vector cu coordonate
cu originea la origine. Perpendicular pe gradientul din care vom construi unul linii de nivel.

3. Mișcarea paralelă a liniei de nivel în direcția gradientului Să găsim punctul de „intrare” al liniei de nivel în zonă - acesta este punctul O(0,0). Să calculăm valoarea funcției în acest punct: .

4. Continuând mișcarea liniei de nivel în direcția gradientului, vom găsi punctul de „ieșire” al liniei de nivel din zonă - acesta este punctul A. Pentru a determina coordonatele acestuia, rezolvăm sistemul de ecuații ale linii drepte și:
Rezolvarea unui sistem de ecuații
Și
.

5. Calculați valoarea funcției în punct
: .

Răspuns:
,
.

CE TREBUIE SĂ ȘTIE UN STUDENT

1. Conceptul de funcție a mai multor variabile.

2. Domeniu și set de valori ale unei funcții de mai multe variabile.

3. Conceptul de linie de nivel.

4. Derivate parțiale ale funcțiilor mai multor variabile.

5. Derivate parțiale de ordin superior ale unei funcții a mai multor variabile.

6. Extremul unei funcţii a mai multor variabile.

7. Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile din zonă.

Întrebări de control

Conceptul de funcție a mai multor variabile. Domeniu de definire, metode de setare, linii de nivel ale unei funcții a două variabile

Derivate parțiale ale funcțiilor mai multor variabile

Extremul unei funcții a mai multor variabile

Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile dintr-un domeniu

TEST DE CONTROL

Care dintre următoarele funcții este o funcție care depinde de două variabile:

A)
; b)
; V)
; G)
.

2. Pentru funcție
derivată parțială față de o variabilă este egal cu:

A)
; b)
; V)
; G)
., la punctul este egal cu... a) 1; b) 0; în 1; d) 4.

12. Gradientul câmpului scalar într-un punct este vectorul...

A) b)

c) d)

13. Derivata parțială a unei funcții față de o variabilă într-un punct este egală cu...

A) e b) 2 e c) 3e d) 3

14. Valoarea maximă a funcției sub restricții

Egal cu... (completează răspunsul).

15. Regiunea soluțiilor fezabile la problema de programare liniară are forma:

Atunci valoarea maximă a funcției este...

A) 10 b) 14 c) 13 d) 11

16. Regiunea soluțiilor fezabile la problema de programare liniară are forma:

Apoi valoarea maximă a funcției egal cu…

A) 29 b) 31 c) 27 d) 20

17. Valoarea maximă a funcției obiectiv z=x 1 +2x 2 sub restricții este egal cu: a) 13 b) 12 c) 8 d) 6

18. Valoarea maximă a unei funcții sub restricții este ... (completați răspunsul).

funcții mai multevariabile 4.1. Sarcini pentru subiect"Diferenţiere funcțiimai multevariabile" Sarcina 1. Găsiți și descrieți regiunea existenței pe plan funcții... 3. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori funcții z = f (x, y), definit...

Agenția Federală pentru Educație Instituție de învățământ de stat de învățământ profesional superior

„Universitatea Tehnică Marină de Stat din Sankt Petersburg”

(SPbGMTU)

Departamentul de Matematică

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

E.S. Baranova, N.V. Vasilieva

Tema 6. Calcul diferenţial

funcţiile mai multor variabile

Saint Petersburg

E.S. Baranova, N.V. Vasilieva. Matematică. Tema 6. Calcul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile. Manual Beneficiu. SPb.: Editura. Centrul Universității Medicale de Stat din Sankt Petersburg, 2005. p. 43.

Il. 9 . Masa 22. Bibliografie: 7 titluri.

Această publicație se adresează studenților specialităților de inginerie pentru a-și organiza munca independentă. Manualul este elaborat sub forma unui compendiu asupra disciplinei studiate. Conține un plan tematic, extrase din programul prelegerilor și orelor practice pe tema „Calcul diferențial al funcțiilor mai multor variabile”, material teoretic pe această temă, cu un număr mare de probleme tipice analizate, precum și întrebări de test de teorie. și întrebări pentru pregătirea pentru examen. Pentru autocontrolul cunoștințelor dobândite, manualul include un test, care prezintă sarcini de testare cu răspunsuri cu răspunsuri multiple, formulate pe baza setului necesar de cunoștințe și abilități pe tema studiată. La sfârșitul manualului există o listă cu literatura recomandată și răspunsurile la test.

Lucrarea a fost realizată la comandă și cu sprijinul Facultății de Pregătire țintă și contractuală a specialiștilor din cadrul Universității de Stat de Medicină din Sankt Petersburg.

E.S. Baranova, N.V. Vasilieva

Tema 6. Calcul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile

Compendiu pe disciplina „Matematică”

Editor N.N. Katrushenko

© SPbGMTU, 2005

1. Planul tematic 2- al-lea semestru.

2. Extras din calendarul cursurilor.

3. Material teoretic.

4. Întrebări de test de teorie.

5. Întrebări de pregătire pentru examen.

6. Extras din planul calendaristic al orelor practice.

7. Test pe tema 6: „Calcul diferențial al funcțiilor”

mai multe variabile.”

9. Răspunsuri la test.

1. PLAN TEMATIC SEMESTRUL II

2. EXTRAS DIN PROGRAMUL PRELELOR

6. Calcul diferențial al funcțiilor mai multor variabile (14 ore)

10. Metric n - spațiu dimensional. Funcția n variabile. Funcția a două variabile. Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile. Derivate parțiale și semnificația lor geometrică (2 ore).

11. Funcție diferențiabilă. O condiție necesară pentru diferențiere. Condiție suficientă pentru diferențiere. Derivată a unei funcții complexe n

variabile. Derivat total (2 ore).

12. Diferenţial de funcţie n variabile. Estimarea erorilor. Ecuația planului tangent și normală la suprafață. Sensul geometric al diferenţialului unei funcţii de două variabile (2 ore).

13. Derivate și diferențiale de ordin superior. Funcții implicite.

14. Extremul unei funcții a două variabile: definiție, condiție necesară, condiție suficientă. Extremul de funcții n variabile. (2 ore).

15. Probleme care implică cele mai mici și mai mari valori (2 ore).

3. MATERIAL TEORETIC

Tabelul 2. Cuprins

1. Funcțiile mai multor variabile.

1.1. Produs direct de seturi, n - spațiu dimensionalR n

1.2. Cartiere în spațiu Rn. Clasificarea punctelor. Deschide și

închis

seturi

1.3. Funcții ale n variabile. Limita și continuitatea funcțiilor a n variabile.

2. Diferențierea funcțiilor n variabile.

1.4. Derivate parțiale ale funcțiilor n variabile.

2.1. Funcție diferențiabilă. Condiții de diferențiere.

2.2. Derivată a unei funcții complexe. Derivată completă.

3. Diferenţial de funcţii a mai multor variabile.

1.5. Definirea diferenţialului unei funcţii a mai multor variabile şi proprietăţile acesteia.

1.6. Invarianța formulei pentru prima diferență de funcții a mai multor variabile.

1.7. Sensul geometric al diferenţialului unei funcţii a două variabile. Ecuația planului tangent și normală la suprafață.

1.8. Calcule aproximative și estimarea erorilor.

4. Derivate parțiale și diferențiale de ordin superior.

5. Derivate ale funcţiilor mai multor variabile specificate implicit.

5.1. Funcție implicită. Diferențiabilitatea unei funcții implicite. Formula pentru coeficienti

derivate ale unei funcţii a două variabile specificate implicit.

5.2. Derivată a unei funcții implicite dată de un sistem de ecuații. determinant Jacobi.

6. Extremul unei funcții a mai multor variabile.

6.1. Formula funcției Taylor n variabile.

6.2. Extremul unei funcții a două variabile.

6.3. Extremul funcției n variabile.

6.4. Cele mai mari și cele mai mici valori ale funcțiilor mai multor variabile.