De ce sistemele numerice nepoziționale și-au pierdut sensul. Sisteme numerice non-poziționale. Tipuri de sisteme numerice

Notaţie - acesta este un mod de reprezentare a numerelor și regulile corespunzătoare pentru operarea pe numere. Diferitele sisteme numerice care au existat în trecut și care sunt folosite astăzi pot fi împărțite în nepoziționalăȘi pozițional. Semne folosite la scrierea numerelor, sunt numite în cifre.

ÎN sisteme numerice non-poziționale semnificația unei cifre nu depinde de poziția sa în număr.

Un exemplu de sistem de numere non-pozițional este sistemul roman (numerele romane). În sistemul roman, literele latine sunt folosite ca numere:

Exemplul 1. Numărul CCXXXII este format din două sute, trei zeci și două unități și este egal cu două sute treizeci și două.

În cifre romane, cifrele sunt scrise de la stânga la dreapta în ordine descrescătoare. În acest caz, valorile lor se adună. Dacă un număr mai mic este scris în stânga și unul mai mare în dreapta, atunci valorile lor sunt scăzute.

Exemplul 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Exemplul 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

ÎN sisteme de numere poziționale valoarea notată printr-o cifră într-o notație numerică depinde de poziția acesteia. Numărul de cifre utilizat se numește baza sistemului numeric pozițional.

Sistemul numeric folosit în matematica modernă este sistem zecimal pozițional. Baza lui este zece, pentru că Orice numere sunt scrise folosind zece cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natura pozițională a acestui sistem este ușor de înțeles folosind exemplul oricărui număr format din mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, primele trei înseamnă trei sute, a doua - trei zeci, a treia - trei.

Pentru a scrie numere într-un sistem pozițional cu o rază n Trebuie avut alfabet din n numere De obicei pentru asta n < 10 используют n primele cifre arabe și când n> 10 litere sunt adăugate la zece cifre arabe. Iată exemple de alfabete ale mai multor sisteme:

Dacă trebuie să indicați baza sistemului căreia îi aparține un număr, atunci i se atribuie un indice acestui număr. De exemplu:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

Într-un sistem numeric cu o bază q (q-sistem de numere arii) unitățile de cifre sunt puteri succesive ale unui număr q. q unitățile din orice categorie formează o unitate din următoarea categorie. Pentru a scrie un număr în q este necesar un sistem de numere q diverse semne (cifre) reprezentând numerele 0, 1, ..., q– 1. Scrierea unui număr q V q-sistemul de numere are forma 10.

Forma extinsă de scriere a unui număr

Lăsa Aq- numărul în sistemul de bază q, ai - cifre ale unui anumit sistem numeric prezente în înregistrarea de numere A, n+ 1 - numărul de cifre ale părții întregi a numărului, m- numărul de cifre ale părții fracționale a numărului:

Forma extinsă a numărului A se numește înregistrare sub forma:

De exemplu, pentru un număr zecimal:

Următoarele exemple arată forma extinsă a numerelor hexazecimale și binare:

În orice sistem numeric, baza sa este scrisă ca 10.

Dacă toți termenii în forma extinsă a unui număr non-zecimal sunt reprezentați în sistemul zecimal și expresia rezultată este calculată conform regulilor aritmeticii zecimale, atunci se va obține un număr în sistemul zecimal egal cu cel dat. Acest principiu este folosit pentru a converti de la sistemul non-zecimal la sistemul zecimal. De exemplu, conversia numerelor scrise mai sus în sistemul zecimal se face astfel:

Conversia numerelor zecimale în alte sisteme numerice

Conversie intreg

Număr zecimal întreg X trebuie convertit într-un sistem cu o bază q: X = (A n A n-1 …A 1 A 0)q. Trebuie să găsim cifrele semnificative ale numărului: . Să reprezentăm numărul în formă extinsă și să efectuăm transformarea identică:

Din aceasta este clar că A 0 există un rest la împărțirea unui număr X pe număr q. Expresia dintre paranteze este câtul întreg al acestei împărțiri. Să o notăm prin X 1. Efectuând transformări similare, obținem:

Prin urmare, A 1 este restul diviziunii X 1 per q. Continuând împărțirea cu restul, vom obține o succesiune de cifre a numărului dorit. Număr unîn acest lanț de diviziuni va fi ultimul coeficient, cu atât mai mic q.

Să formulăm regula rezultată: pentru asta pentru a converti un număr zecimal întreg într-un sistem numeric cu o bază diferită, aveți nevoie:

1) exprimă baza noului sistem numeric în sistemul numeric zecimal și efectuează toate acțiunile ulterioare conform regulilor aritmeticii zecimale;

2) împărțiți succesiv numărul dat și coeficientii incompleti rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un coeficient incomplet care este mai mic decât divizorul;

3) aduce soldurile rezultate, care sunt cifre ale unui număr în noul sistem de numere, în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere;

4) compuneți un număr în noul sistem de numere, notându-l pornind de la ultimul cât.

Exemplul 1. Convertiți numărul 37 10 în binar.

Pentru a desemna cifrele dintr-un număr folosim simbolismul: A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0

De aici: 37 10 = l00l0l 2

Exemplul 2. Convertiți numărul zecimal 315 în sisteme octale și hexazecimale:

Urmează: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Amintiți-vă că 11 10 = B 16.

Fracție zecimală X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, A –1 A –2 … A–m+1 A–m)q. Trebuie să găsim cifrele semnificative ale numărului: A –1 ,A –2 , …, A– m. Să ne imaginăm numărul în formă extinsă și să-l înmulțim cu q:

Din aceasta este clar că A–1 X pe număr q. Să notăm prin X 1 parte fracționată a produsului și înmulțiți-o cu q:

Prin urmare, A –2 există o întreagă parte a lucrării X 1 pe număr q. Continuând înmulțirea, vom obține o succesiune de numere. Acum să formulăm o regulă: pentru a converti o fracție zecimală într-un sistem numeric cu o bază diferită, aveți nevoie:

1) înmulțiți succesiv numărul dat și părțile fracționale rezultate ale produselor cu baza noului sistem numeric până când partea fracțională a produsului devine egală cu zero sau se obține precizia necesară de reprezentare a numărului în noul sistem numeric;

2) aduceți părțile întregi rezultate din lucrări, care sunt cifre ale numărului din noul sistem de numere, în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere;

3) alcătuiți partea fracțională a numărului în noul sistem de numere, pornind de la partea întreagă a primului produs.

Exemplul 3. Convertiți fracția zecimală 0,1875 în sisteme binar, octal și hexazecimal.

Aici coloana din stânga conține partea întreagă a numerelor, iar coloana din dreapta conține partea fracțională.

Prin urmare: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Conversia numerelor mixte care conține părți întregi și fracționale se realizează în două etape. Părțile întregi și fracționale ale numărului original sunt traduse separat folosind algoritmi corespunzători. În înregistrarea finală a unui număr în noul sistem de numere, partea întreagă este separată de partea fracțională printr-o virgulă (punct).

Calcule binare

Conform principiului lui John von Neumann, un computer efectuează calcule în sistemul numeric binar. În cadrul cursului de bază, este suficient să ne limităm la calculele cu numere întregi binare. Pentru a efectua calcule cu numere cu mai multe cifre, trebuie să cunoașteți regulile de adunare și regulile de înmulțire a numerelor cu o singură cifră. Acestea sunt regulile:

Principiul comutabilității adunării și înmulțirii funcționează în toate sistemele de numere. Tehnicile de efectuare a calculelor cu numere cu mai multe cifre în sistemul binar sunt similare cu sistemul zecimal. Cu alte cuvinte, procedurile de adunare, scădere și înmulțire cu o „coloană” și împărțirea printr-un „colț” în sistemul binar sunt efectuate în același mod ca și în sistemul zecimal.

Să ne uităm la regulile de scădere și împărțire a numerelor binare. Operația de scădere este inversa adunării. Din tabelul de adunare de mai sus urmează regulile de scădere:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Iată un exemplu de scădere a numerelor din mai multe cifre:

Rezultatul obținut poate fi verificat prin adăugarea diferenței cu subtraend. Rezultatul ar trebui să fie un număr în scădere.

Împărțirea este operația inversă a înmulțirii. În orice sistem numeric nu puteți împărți la 0. Rezultatul împărțirii la 1 este egal cu dividendul. Împărțirea unui număr binar la 10 2 mută zecimala cu un loc la stânga, similar cu împărțirea unei zecimale la zece. De exemplu:

Împărțirea cu 100 mută virgulă zecimală cu 2 locuri la stânga etc. În cursul de bază, nu trebuie să luați în considerare exemple complexe de împărțire a numerelor binare cu mai multe cifre. Deși elevii capabili le pot face față, înțelegând principiile generale.

Reprezentarea informațiilor stocate în memoria computerului în adevărata sa formă binară este destul de greoaie din cauza numărului mare de cifre. Aceasta se referă la înregistrarea acestor informații pe hârtie sau la afișarea lor pe ecran. În aceste scopuri, se obișnuiește să se utilizeze sisteme mixte binar-octal sau binar-hexazecimal.

Există o relație simplă între reprezentarea binară și hexazecimală a unui număr. Când convertiți un număr dintr-un sistem în altul, o cifră hexazecimală corespunde unui cod binar de patru cifre. Această corespondență este reflectată în tabelul binar-hexazecimal:

Tabel binar hexazecimal

Această conexiune se bazează pe faptul că 16 = 2 4 și numărul diferitelor combinații de patru cifre ale numerelor 0 și 1 este 16: de la 0000 la 1111. Prin urmare conversia numerelor din hexazecimal în binar și invers se face prin conversie formală conform tabelului binar hexazecimal.

Iată un exemplu de conversie a binarului pe 32 de biți în hexazecimal:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Dacă se oferă o reprezentare hexazecimală a informațiilor interne, atunci este ușor să o convertiți în cod binar. Avantajul reprezentării hexazecimale este că este de 4 ori mai scurtă decât cea binară. Este recomandabil ca elevii să memoreze tabelul binar-hexazecimal. Atunci într-adevăr pentru ei reprezentarea hexazecimală va deveni echivalentă cu cea binară.

În sistemul octal binar, fiecare cifră octală corespunde unei triade de cifre binare. Acest sistem vă permite să reduceți codul binar de 3 ori.

Sisteme numerice - ce sunt acestea? Chiar și fără a cunoaște răspunsul la această întrebare, fiecare dintre noi folosește în mod inevitabil sisteme de numere în viața noastră și nu este conștient de acest lucru. Așa e, la plural! Adică nu unul, ci mai multe. Înainte de a da exemple de sisteme numerice non-poziționale, să înțelegem această problemă și să vorbim și despre sistemele poziționale.

Nevoie de cont

Din cele mai vechi timpuri, oamenii au avut nevoia de a număra, adică și-au dat seama intuitiv că au nevoie să exprime cumva o viziune cantitativă asupra lucrurilor și evenimentelor. Creierul mi-a spus că este necesar să folosim obiecte pentru a număra. Cele mai convenabile au fost întotdeauna degetele, iar acest lucru este de înțeles, deoarece sunt întotdeauna disponibile (cu rare excepții).

Deci, reprezentanții antici ai rasei umane au trebuit să-și îndoaie degetele în sensul literal - pentru a indica numărul de mamuți uciși, de exemplu. Astfel de elemente ale contului nu aveau încă nume, ci doar o imagine vizuală, o comparație.

Sisteme moderne de numere poziționale

Un sistem numeric este o metodă (modalitate) de reprezentare a valorilor și cantităților cantitative folosind anumite semne (simboluri sau litere).

Este necesar să înțelegeți ce poziționalitate și non-poziționalitate sunt în numărare înainte de a da exemple de sisteme numerice non-poziționale. Există multe sisteme de numere poziționale. Următoarele sunt acum utilizate în diverse domenii de cunoaștere: binar (include doar două elemente semnificative: 0 și 1), șasezecimal (număr de caractere - 6), octal (8 caractere), duozecimal (douăsprezece caractere), hexazecimal (include șaisprezece caractere). ). Mai mult, fiecare serie de semne din sisteme pleacă de la zero. se bazează pe utilizarea codurilor binare - sistemul de numere binar pozițional.

Sistem de numere zecimale

Poziționalitatea este prezența unor grade diferite de poziții semnificative în care se află semnele unui număr. Acest lucru poate fi demonstrat cel mai bine folosind sistemul numeric zecimal ca exemplu. La urma urmei, asta este ceea ce suntem obișnuiți să folosim încă din copilărie. Există zece semne în acest sistem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Să luăm numărul 327. Are trei semne: 3, 2, 7. Fiecare dintre ele este situat în propria poziţie (loc). Șapte ocupă poziția rezervată pentru valori individuale (unități), două - zeci și trei - sute. Deoarece numărul este format din trei cifre, există doar trei poziții în el.

Pe baza celor de mai sus, un astfel de număr zecimal din trei cifre poate fi descris după cum urmează: trei sute, două zeci și șapte unități. Mai mult, semnificația (importanța) pozițiilor se numără de la stânga la dreapta, de la o poziție slabă (una) la una mai puternică (sute).

Ne simțim foarte confortabil în sistemul numeric pozițional zecimal. Avem zece degete pe mâini și la fel și pe picioare. Cinci plus cinci - așa că, datorită degetelor noastre, încă din copilărie ne putem imagina cu ușurință zece. De aceea este ușor pentru copii să învețe tabelele de înmulțire pentru cinci și zece. De asemenea, este atât de ușor să înveți cum să numeri bancnotele, care sunt cel mai adesea multiple (adică divizibile fără rest) cu cinci și zece.

Alte sisteme de numere poziționale

Spre surprinderea multora, trebuie spus că nu numai în sistemul de numărare zecimală creierul nostru este obișnuit să facă anumite calcule. Până acum, omenirea folosește sisteme numerice cu șase și duozecimal. Adică într-un astfel de sistem există doar șase caractere (în sixex): 0, 1, 2, 3, 4, 5. În duozecimal sunt douăsprezece: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 , A, B, unde A - indică numărul 10, B - numărul 11 (deoarece trebuie să existe un singur semn).

Judecă singur. Numărăm timpul în șase, nu-i așa? O oră este șaizeci de minute (șase zeci), o zi este douăzeci și patru de ore (de două ori douăsprezece), un an este douăsprezece luni și așa mai departe... Toate intervalele de timp se potrivesc cu ușurință în seriile hexazecimale și duozecimale. Dar suntem atât de obișnuiți cu asta încât nici nu ne gândim la asta când numărăm timpul invers.

Sisteme numerice non-poziționale. Unar

Este necesar să decideți ce este - un sistem numeric non-pozițional. Acesta este un sistem de semne în care nu există poziții pentru semnele numerice sau principiul „citirii” unui număr nu depinde de poziție. De asemenea, are propriile reguli de înregistrare sau calcule.

Să dăm exemple de sisteme numerice non-poziționale. Să ne întoarcem la antichitate. Oamenii aveau nevoie de numărare și au venit cu cea mai simplă invenție - nodurile. Sistemul numeric non-pozițional este nodular. Un articol (o pungă de orez, un taur etc.) a fost numărat, de exemplu, la cumpărare sau la vânzare, iar un nod era legat pe o sfoară.

Ca urmare, erau atâtea noduri pe frânghie câte saci de orez cumpărați (de exemplu). Dar acestea ar putea fi și crestături pe un băț de lemn, pe o lespede de piatră etc. Acest sistem numeric a devenit cunoscut sub numele de sistemul de noduri. Are un al doilea nume - unar sau unitate („uno” în latină înseamnă „unul”).

Devine evident că acest sistem numeric este non-pozițional. La urma urmei, despre ce posturi putem vorbi când există o singură (poziție)! Destul de ciudat, în unele colțuri ale Pământului sistemul unar de numere nepoziționale este încă în uz.

De asemenea, sistemele numerice non-poziționale includ:

Roman (litere - simbolurile latine sunt folosite pentru a scrie numere);
egipteanul antic (asemănător cu romanul, se foloseau și simboluri);
alfabetic (au fost folosite litere ale alfabetului);
Babilonian (cuneiform - au folosit o „pană” dreaptă și inversată);
Greacă (clasificată și ca alfabetică).

Sistemul de numere romane

Imperiul Roman antic, precum și știința sa, au fost foarte progresiste. Romanii au oferit lumii multe invenții utile ale științei și artei, inclusiv sistemul lor de numărare. În urmă cu două sute de ani, cifrele romane erau folosite pentru a indica sumele în documentele de afaceri (evitându-se astfel contrafacerea).

Un exemplu de sistem numeric non-pozițional, ne este cunoscut acum. De asemenea, sistemul roman este utilizat în mod activ, dar nu pentru calcule matematice, ci pentru acțiuni îngust direcționate. De exemplu, se obișnuiește să se folosească numerele romane pentru a indica date istorice, secole, numere de volum, secțiuni și capitole în publicațiile de carte. Semnele romane sunt adesea folosite pentru a decora cadranele ceasurilor. Și, de asemenea, numerotarea romană este un exemplu de sistem de numere non-pozițional.

Romanii au desemnat numerele folosind litere latine. Mai mult, au notat numerele după anumite reguli. Există o listă de simboluri cheie în sistemul numeric roman, cu ajutorul căreia toate numerele au fost scrise fără excepție.

Reguli pentru alcătuirea numerelor

Numărul necesar a fost obținut prin adăugarea semnelor (litere latine) și calculând suma acestora. Să ne uităm la modul în care semnele sunt scrise simbolic în sistemul roman și cum să le „citim”. Să enumerăm legile de bază ale formării numerelor în sistemul numeric nepozițional roman.

Numărul patru - IV, este format din două semne (I, V - unu și cinci). Se obține scăzând semnul mai mic din cel mai mare dacă este la stânga. Când semnul mai mic este situat în partea dreaptă, trebuie să adăugați, apoi obțineți numărul șase - VI.
Trebuie să adăugați două semne identice unul lângă celălalt. De exemplu: SS este 200 (C este 100) sau XX este 20.
Dacă prima cifră a unui număr este mai mică decât a doua, atunci a treia din acest rând poate fi un simbol a cărui valoare este chiar mai mică decât prima. Pentru a evita confuzia, să dăm un exemplu: CDX - 410 (în zecimală).
Unele numere mari pot fi reprezentate în moduri diferite, ceea ce este unul dintre dezavantajele sistemului de numărare roman. Iată câteva exemple: MVM (sistem roman) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (sistem zecimal) sau MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. Și acestea nu sunt toate metodele.

Tehnici aritmetice

Un sistem de numere non-pozițional este uneori un set complex de reguli pentru formarea numerelor, procesarea lor (acțiuni asupra lor). Operațiile aritmetice în sistemele numerice non-poziționale nu sunt ușoare pentru oamenii moderni. Nu-i invidiem pe vechii matematicieni romani!

Exemplu de adăugare. Să încercăm să adunăm două numere: XIX + XXVI = XXXV, Această sarcină se realizează în doi pași:

În primul rând, luăm și adăugăm fracții mai mici de numere: IX + VI = XV (I după V și Iînainte de X se „distrug” reciproc).
În al doilea rând, adunăm fracții mari din două numere: X + XX = XXX.

Scăderea este puțin mai complicată. Numărul care se reduce trebuie împărțit în elementele sale componente, iar apoi caracterele duplicate din minuend și subtraend trebuie reduse. Din numărul 500 scadem 263:

D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII.

Înmulțirea numerelor romane. Apropo, este necesar să menționăm că romanii nu aveau semne pentru operațiile aritmetice, ci pur și simplu le denotau cu cuvinte.

Multiplicatul trebuia înmulțit cu fiecare simbol multiplicator individual, rezultând mai multe produse care trebuiau adăugate. Așa se înmulțesc polinoamele.

În ceea ce privește împărțirea, acest proces în sistemul numeric roman a fost și rămâne cel mai complex. Aici a fost folosit abacul roman antic - abacul. Oamenii au fost special instruiți să lucreze cu el (și nu fiecare persoană a fost capabilă să stăpânească o astfel de știință).

Despre dezavantajele sistemelor nepoziționale

După cum sa menționat mai sus, sistemele de numere non-poziționale au propriile lor dezavantaje și inconveniente în utilizare. Unar este suficient de simplu pentru calcule simple, dar pentru calcule aritmetice și complexe nu este deloc potrivit.

Roman nu are reguli uniforme pentru formarea numerelor mari și creează confuzie și, de asemenea, este foarte dificil să faci calcule. În plus, cel mai mult pe care romanii antici îl puteau nota folosind metoda lor era de 100.000.

Introducere

Tema eseului pentru cursul „Informatică-1” este „Sisteme numerice”.

Scopul redactării unui rezumat: Să se familiarizeze cu conceptul de sistem numeric și clasificare; conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul.

Conceptul de sistem numeric. Sisteme numerice poziționale și nepoziționale

binar algebric întreg

Un sistem numeric este un sistem de tehnici și reguli care fac posibilă stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între orice număr și reprezentarea acestuia ca un set al unui număr finit de simboluri. Setul de simboluri folosit pentru această reprezentare se numește cifre.

Notaţie:

oferă reprezentări ale unui set de numere (întregi și/sau reale);

dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);

reflectă structura algebrică și aritmetică a numerelor.

Sistemele numerice sunt împărțite în poziționale și nepoziționale. În sistemele nepoziționale, orice număr este definit ca o funcție a valorilor numerice ale setului de cifre care reprezintă acest număr. Cifrele din sistemele numerice nepoziționale corespund anumitor numere fixe. Un exemplu de sistem non-pozițional este sistemul numeric roman.

Din punct de vedere istoric, primele sisteme numerice au fost sisteme non-poziționale. Unul dintre principalele dezavantaje este dificultatea de a scrie numere mari. Scrierea unor numere mari în astfel de sisteme este foarte greoaie, iar alfabetul sistemului este extrem de mare.

Sistemele non-poziționale nu sunt utilizate în calcul. 3

Un sistem de numere se numește pozițional dacă aceeași cifră poate lua valori numerice diferite în funcție de numărul de cifre al acestei cifre din setul de cifre care reprezintă un anumit număr. Un exemplu de astfel de sistem este sistemul numeric zecimal arab.

Baza sistemului numeric pozițional determină numele acestuia. În calcul se folosesc sisteme binar, octal, zecimal și hexazecimal.

În prezent, sistemele de numere poziționale sunt mai răspândite decât sistemele de numere non-poziționale. Acest lucru se datorează faptului că permit scris numere mari folosind un număr relativ mic de caractere. Un avantaj și mai important al sistemelor poziționale este simplitatea și ușurința de a efectua operații aritmetice pe numerele scrise în aceste sisteme.

Iată exemple în care puteți găsi utilizarea sistemelor numerice poziționale:

binar în matematică discretă, informatică, programare;

zecimală - folosit peste tot;

duozecimal - numărare cu zeci;

hexazecimal - folosit în programare, informatică;

sexagesimal - unități de timp, măsurare a unghiurilor și, în special, coordonate, longitudine și latitudine.

TELEVIZOR. Sarapulova, I.E. Trofimov

NEPOZIȚIONALĂ ȘI MIXTE
SISTEME NUMERALE

directii 230700.62 „Informatica aplicata” ca linii directoare pentru munca independenta
la disciplina „Sisteme și tehnologii informaționale”

Kemerovo 2012

Recenzători:

1. Evgeniya Viktorovna Prokopenko, candidat la științe fizice și matematice, profesor asociat al departamentului de tehnologii informaționale aplicate.

2. Sokolov Igor Aleksandrovich, candidat la științe tehnice, conferențiar universitar, șef al Departamentului de Tehnologii Informaționale Aplicate, președinte al Comitetului de educație și formare al direcției 230700.62 „Informatică aplicată”.

Sarapulova Tatyana Viktorovna, Trofimov Ivan Evgenievici. Sisteme numerice nepoziționale și mixte: metoda. instrucțiuni pentru munca independentă la disciplina „Sisteme și tehnologii informaționale” [resursa electronică]: pentru studenții din zona de pregătire de licență 230700.62 „Informatică aplicată” / T. V. Sarapulova, I. E. Trofimov. - Electron. Dan. – Kemerovo: KuzGTU, 2012. – 1 electron. angro disc (CD-ROM); sunet ; culoare ; 12 cm – Sistem. cerințe: RAM 64 MB; Windows XP/Vista/7; (Unitatea CD ROM). - Cap. de pe ecran.

Orientările sunt destinate studiului independent al sistemelor numerice non-poziționale și mixte. Orientările includ un cadru teoretic și întrebări de testare.

Ó Sarapulova T.V., Trofimov I.E.

INTRODUCERE.. 4

1. SISTEME NUMERALE NEPOZIȚIONALE... 5

1.1. Sistemul de numere romane. 6

1.2. Sistemul de clasă reziduală (RSS) 6

1.3. Sistemul de numere Stern-Brocaw. 8

2. SISTEME NUMERALE MIXTE... 9

2.1. Sistemul numeric mayaș. 10

2.2. Sistemul numeric factorial. 10

2.3. Sistemul de numere Fibonacci. unsprezece

Scopul acestei lucrări independente este studiul sistemelor numerice nepoziționale și mixte.

INTRODUCERE

Una dintre cerințele obligatorii pentru un specialist în domeniul tehnologiei informației este cunoașterea principiilor de lucru cu numerele. În primele etape ale dezvoltării societății, oamenii aproape că nu știau să numere. Ei au făcut distincție între seturi de două și trei obiecte; orice colecție care conținea un număr mai mare de obiecte a fost unită în conceptul „multe”. La numărare, obiectele erau de obicei comparate cu degetele de la mâini și de la picioare. Pe măsură ce civilizația s-a dezvoltat, nevoia umană de a număra a devenit necesară. Inițial, numerele naturale au fost descrise folosind un anumit număr de liniuțe sau bastoane, apoi au început să fie folosite litere sau semne speciale pentru a le reprezenta.

Să trasăm o linie între număr și cifră. Un număr este o entitate abstractă care descrie cantitatea. Cifrele sunt semne folosite pentru a scrie numere. Există numere diferite, cele mai frecvente sunt numerele arabe, reprezentate prin semnele pe care le cunoaștem de la zero (0) la nouă (9); Cifrele romane sunt mai puțin comune; le putem găsi uneori pe cadranul unui ceas sau în denumirea secolului (secolul XIX).

Deci, să ne amintim: număr – acesta este un fel de măsură abstractă a cantității, număr – acesta este un semn (desen) pentru scrierea unui număr.

Toate modalitățile de a scrie numere folosind cifre pot fi împărțite în trei părți:

1. sisteme de numere poziționale;

2. sisteme de numere mixte;

3. sisteme numerice nepoziționale.

Bancnotele sunt un exemplu izbitor de sistem numeric mixt. În prezent, în Rusia se folosesc monede și bancnote cu următoarele valori nominale: 1 copeck, 5 copeici, 10 copeici, 50 copeici, 1 rublă, 2 ruble, 5 ruble, 10 ruble, 50 ruble, 100 ruble, 500 ruble, 1000 ruble. . și 5000 de ruble. Pentru a obține o anumită sumă în ruble, trebuie să folosim un anumit număr de bancnote de diferite denominații. Să presupunem că cumpărăm un aspirator care costă 6.379 de ruble. Pentru a plăti, avem nevoie de șase mii de ruble, trei sute de ruble, o bancnotă de cincizeci de ruble, două zeci, o monedă de cinci ruble și două monede de două ruble. Dacă notăm numărul de bancnote sau monede începând de la 1000 de ruble. și terminând cu un copeck, înlocuind denumirile lipsă cu zerouri, obținem un număr reprezentat într-un sistem numeric mixt; în cazul nostru – 603121200000.

Într-un sistem numeric nepozițional, dimensiunea unui număr nu depinde de poziția cifrei în reprezentarea numărului. Un exemplu izbitor de sistem numeric non-pozițional este sistemul roman. În ciuda vechimii sale venerabile, acest sistem este încă în uz, deși nu este utilizat în general.

SISTEME NUMERALE NEPOZIȚIONALE

În sistemele numerice nepoziționalevaloarea pe care o denotă o cifră nu depinde de poziția sa în număr.În acest caz, sistemul poate impune restricții privind poziția numerelor.

Din cele mai vechi timpuri, oamenii au folosit pe scară largă sistemele numerice non-poziționale. Pentru a număra animalele, populația și proviziile, au fost folosite diverse litere, pictograme și alte forme geometrice. De-a lungul timpului, sistemele non-poziționale au devenit mai puțin populare și în lumea modernă găsim un reprezentant tipic al sistemelor non-poziționale - sistemul numeric roman, mai mult ca o literă exotică decât un sistem cu adevărat funcțional. Motivul abandonării sistemelor numerice nepoziționale a fost apariția sistemelor poziționale, care au făcut posibilă utilizarea alfabetelor digitale semnificativ mai mici pentru a desemna chiar și numere foarte mari și, mai important, a asigura efectuarea simplă a operațiilor aritmetice asupra numerelor.

Sistemul de numere romane

Exemplul canonic al unui sistem numeric practic nepozițional este sistemul roman, care folosește litere latine ca numere:

I reprezintă 1, V pentru 5, X pentru 10, L pentru 50, C pentru 100, D pentru 500, M pentru 1000.

De exemplu, II = 1 + 1 = 2, aici simbolul I reprezintă 1 indiferent de locul său în număr.

Vă rugăm să rețineți că simbolul zero din acest sistem numeric, ca și în alte sisteme nepoziționale, lipsește ca fiind inutil.

Nu există informații sigure despre originea cifrelor romane. Numărul V ar putea servi inițial ca o imagine a unei mâini, iar numărul X ar putea fi format din două cinci. În numerotarea romană există în mod clar urme ale sistemului numeric de cinci ori.

De fapt, sistemul roman nu este complet nonpoziţional, deoarece cifra mai mică care o precede pe cea mai mare este scăzută din ea, de exemplu:

VI = 6, adică 5 + 1, în timp ce IV = 4, adică. 5 – 1;

XL = 40, adică 50 – 10, în timp ce LX = 60, adică. 50 + 10.

Același număr în sistemul roman este plasat de cel mult trei ori la rând: LXX = 70; LXXX = 80; numărul 90 este scris XC (nu XLXXX).

Primele 12 numere sunt scrise cu cifre romane astfel: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

Alte numere se scriu, de exemplu, ca: XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Când ne întrebăm câte numere pot fi scrise în sistemul roman, descoperim rapid că intervalul lor se întinde de la 1 (I) la 3999 (MMMCMXCIX). O gamă atât de restrânsă de numere limitează serios utilizarea sistemului în viața modernă, unde numărul este de milioane.

Acum sistemul numeric roman este folosit pentru a indica aniversările, numerotarea unor pagini ale unei cărți (de exemplu, paginile prefeței), capitolele din cărți, strofele din poezii etc.

Informații conexe.

Lucrare de laborator nr 16

Sisteme numerice

Partea teoretică

ÎN bază

<10 используют n первых арабских цифр, а при n>

Baza	Nume	Alfabet
n=2	binar	0 1
n=3	ternar	0 1 2
n=4	cuaternar	0 1 2 3
n=5	cinci ori	0 1 2 3 4
n=6	șase ori	0 1 2 3 4 5
n=7	septenar	0 1 2 3 4 5 6
n=8	octal	0 1 2 3 4 5 6 7
n=10	zecimal	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=16	hexazecimal

Radix

IV = 5 – 1 = 4

XL = 50 – 10 = 40

Să ne uităm la numere:

Conversia din sistemul de numere zecimal în altele

Exemplu: Să convertim numărul 75 din sistemul zecimal în binar, octal și hexazecimal:

Răspuns: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

Conversia la sistemul numeric zecimal

Conversia numerelor întregi din sistemul numeric cu baza q (sistem non-zecimal) în sistemul numeric zecimal se efectuează conform regulii: dacă toți termenii în forma extinsă a unui număr non-zecimal sunt reprezentați în sistemul zecimal și expresia rezultată se calculează conform regulilor aritmeticii zecimale, apoi se va obține un număr în sistemul zecimal egal cu dat. Să ne uităm la exemple:

112 3 = 1 3 2 + 1 3 1 + 2 3 0 = 9 + 3 + 2 = 14 10

101101 2 = 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 1 = 45 10

15FC 16= 1 16 3 + 5 16 2 + 15(F) 16 1 + 12(C) 16 0 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 10

Forma extinsă a numărului

Forma extinsă de scriere a unui număr– aceasta este o înregistrare sub formă de termeni de cifre scrise folosind gradul cifrei corespunzătoare și baza gradului.

Să ne uităm la exemple:

32478 10 = 3 10000 + 2 1000 + 4 100 + 7 10 + 8 =

3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0

112 3 = 1·3 2 + 1·3 1 + 2·3 0

101101 2 = 1·2 5 + 0·2 4 + 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0

15FC 16 = 1 16 3 + 5 16 2 + 15 16 1 + 12 16 0

Plus

Tabelele de adunare sunt ușor de creat folosind regula de numărare.

Calcul

Exemplul 4. Scădeți unul din numerele 10 2, 10 8 și 10 16

Exemplul 5. Scădeți unul din numerele 100 2, 100 8 și 100 16.

Exemplul 6. Scădeți numărul 59,75 din numărul 201,25.

Răspuns: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16.

Examinare. Să convertim diferențele rezultate în formă zecimală:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

Multiplicare

Când înmulțiți numere cu mai multe cifre în diferite sisteme de numere poziționale, puteți utiliza algoritmul obișnuit pentru înmulțirea numerelor într-o coloană, dar rezultatele înmulțirii și adunării numerelor cu o singură cifră trebuie împrumutate din tabelele de înmulțire și adunare corespunzătoare sistemului din întrebare.

DIVIZIA

Împărțirea în orice sistem de numere pozițional se efectuează după aceleași reguli ca și împărțirea după unghi în sistemul zecimal. În sistemul binar, împărțirea este deosebit de simplă, deoarece următoarea cifră a coeficientului poate fi doar zero sau unu.
Exemplul 9. Împărțiți numărul 30 la numărul 6.

Răspuns: 30: 6 = 5 10 = 101 2 = 5 8 .

Exemplul 10. Împărțiți numărul 5865 la numărul 115.

Octal: 13351 8:163 8

Răspuns: 5865: 115 = 51 10 = 110011 2 = 63 8 .
Examinare.
110011 2 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 63 8 = 6 . 8 1 + 3 . 8 0 = 51.

Exemplul 11. Împărțiți numărul 35 la numărul 14.

Octal: 43 8: 16 8

Răspuns: 35: 14 = 2,5 10 = 10,1 2 = 2,4 8 .

Examinare. Să convertim coeficientii rezultați în formă zecimală:

10,1 2 = 2 1 + 2 -1 = 2,5;

2,4 8 = 2 . 8 0 + 4 .

Sisteme de numere octale și hexazecimale

Sistemul binar, convenabil pentru computere, este incomod pentru oameni din cauza volumului său și a notării neobișnuite.

Conversia numerelor din sistemul zecimal în sistemul binar și invers este efectuată de o mașină. Cu toate acestea, pentru a folosi un computer în mod profesional, trebuie să înveți să înțelegi cuvântul mașină. Acesta este motivul pentru care au fost dezvoltate sistemele octal și hexazecimal.

Numerele din aceste sisteme sunt aproape la fel de ușor de citit ca și cele zecimale; ele necesită, respectiv, de trei (octale) și, respectiv, de patru (hexazecimale) ori mai puține cifre decât în sistemul binar (la urma urmei, numerele 8 și, respectiv, 16 sunt a treia și a patra putere a numărului 2) .

De exemplu:

De exemplu,

Cum se transformă o fracție zecimală adecvată în orice alt sistem de numere pozițional?

Pentru a converti fracția zecimală corectă Fîntr-un sistem numeric cu o bază q necesar Fînmulțit cu q, scris în același sistem zecimal, apoi înmulțiți din nou partea fracționară a produsului rezultat cu q, etc., până când partea fracțională a următorului produs devine egală cu zero sau este atinsă precizia necesară de reprezentare a numărului F V q-ic sistem. Reprezentarea părții fracționale a unui număr Fîn noul sistem de numere va exista o secvență de părți întregi din lucrările rezultate, scrise în ordinea în care au fost primite și descrise într-o singură q-cifră ară. În cazul în care numărul necesar precizia traducerii F se ridică la k zecimale, atunci eroarea absolută maximă este egală cu q -(k+1) / 2.

Exemplu. Să convertim numărul 0,36 din sistemul zecimal în binar, octal și hexazecimal:

Munca practica.

1. Convertiți acest număr din sistemul numeric zecimal în sisteme de numere binar, octal și hexazecimal.

c) 712,25 (10);

d) 670,25 (10);

2. Convertiți acest număr în sistemul numeric zecimal.

a) 1001110011 (2) ;

b) 1001000 (2);

c) 1111100111,01 (2);

d) 1010001100,101101 (2);

e) 413,41 (8);

e) 118,8C (16).

3. Adăugați numerele.

a) 1100001100 (2) +1100011001 (2) ;

b) 110010001 (2) +1001101 (2) ;

c) 111111111.001 (2) +1111111110.0101 (2) ;

d) 1443,1 (8) +242,44 (8) ;

e) 2B4,C (16) +EA,4 (16).

Lucrare de laborator nr 16

Sisteme numerice

Partea teoretică

Sisteme numerice poziționale

ÎN sisteme de numere poziționale valoarea notată printr-o cifră într-o notație numerică depinde de poziția acesteia. Se numește numărul de cifre utilizate bază sistem de numere poziționale.

Sistemul numeric folosit în matematica modernă este sistem zecimal pozițional. Baza lui este 10, pentru că Numerele sunt scrise folosind 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natura pozițională a acestui sistem este ușor de înțeles folosind exemplul oricărui număr format din mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, primul 3 înseamnă 3 sute, al doilea – 3 zeci, al treilea – 3 unități (semnificația fiecărei cifre depinde de locul pe care îl ocupă această cifră).

Pentru a scrie numere în sistemul pozițional de bază n, trebuie să aveți un alfabet de n cifre. De obicei în acest scop când n<10 используют n первых арабских цифр, а при n>La zece cifre arabe se adaugă 10 litere. Iată exemple de alfabete ale mai multor sisteme:

Baza	Nume	Alfabet
n=2	binar	0 1
n=3	ternar	0 1 2
n=4	cuaternar	0 1 2 3
n=5	cinci ori	0 1 2 3 4
n=6	șase ori	0 1 2 3 4 5
n=7	septenar	0 1 2 3 4 5 6
n=8	octal	0 1 2 3 4 5 6 7
n=10	zecimal	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=16	hexazecimal	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Dacă trebuie să indicați baza sistemului căreia îi aparține un număr, atunci acesta este alocat cu un indice acestui număr: 101101 2, 3671 8, 3B8F 16

Să scriem primele 17 numere în sisteme de numere binare și octale:

Radix

Sisteme numerice non-poziționale

Pe lângă cele poziționale, există și altele - sisteme de numere nepoziționale, construite pe alte principii.

În sistemele numerice nepoziționale, poziția cifrei în notația numerică nu depinde de valoarea pe care o reprezintă. Un exemplu binecunoscut al unui astfel de sistem este sistemul roman (numerele romane). În sistemul roman, literele latine sunt folosite ca numere:

Dacă un număr mai mic este scris în stânga și unul mai mare în dreapta, atunci valorile lor se scad:

IV = 5 – 1 = 4

XL = 50 – 10 = 40

Să ne uităm la numere:

a) LXXXVII = (50 + 30) + (5 + 2) = 87. În acest exemplu, numărul X, participând de 3 ori, înseamnă de fiecare dată aceeași valoare - 10 unități.

b) MCMXCVI = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + (5 + 1) = 1996

Vedem adesea cifre romane chiar și acum, de exemplu, activate pe cadranele ceasurilor, în cărți la numerotarea capitolelor, în desemnarea secolelor. Cu toate acestea, ele nu sunt folosite în practica matematică. Sistemele poziționale sunt convenabile deoarece vă permit să scrieți numere mari folosind un număr relativ mic de caractere. Un avantaj și mai important al sistemelor poziționale este simplitatea și ușurința efectuării operațiilor aritmetice pe numere. Pentru comparație, încercați să înmulțiți două numere din trei cifre scriindu-le cu cifre romane.