Metode de integrare a funcțiilor iraționale (rădăcini). Integrarea iraționalității fracționale-liniare

Clasa de funcții iraționale este foarte largă, așa că pur și simplu nu poate exista o modalitate universală de a le integra. În acest articol vom încerca să identificăm cele mai caracteristice tipuri de funcții integrante iraționale și să le asociem metoda de integrare.

Există cazuri când este oportun să se folosească metoda de abonare la semnul diferențial. De exemplu, când se găsesc integrale nedefinite de formă, unde p– fracția rațională.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită .

Soluţie.

Nu este greu de observat asta. Prin urmare, îl punem sub semnul diferențial și folosim tabelul de antiderivate:

Răspuns:

.

13. Substituție liniară fracțională

Integrale de tipul în care a, b, c, d sunt numere reale, a, b,..., d, g sunt numere naturale, sunt reduse la integrale ale unei funcții raționale prin substituție, unde K este cel mai mic multiplu comun al numitorii fracțiilor

Într-adevăr, din înlocuire rezultă că

adică x și dx sunt exprimate prin funcții raționale ale lui t. Mai mult, fiecare grad al fracției este exprimat printr-o funcție rațională a lui t.

Exemplul 33.4. Găsiți integrala

Rezolvare: Cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor 2/3 și 1/2 este 6.

Prin urmare, punem x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Prin urmare,

Exemplul 33.5. Specificați înlocuirea pentru găsirea integralelor:

Rezolvare: Pentru substituția I 1 x=t 2, pentru substituția I 2

14. Substituția trigonometrică

Integralele de tip sunt reduse la integrale ale funcțiilor care depind rațional de funcțiile trigonometrice folosind următoarele substituții trigonometrice: x = a sint pentru prima integrală; x=a tgt pentru a doua integrală; pentru a treia integrală.

Exemplul 33.6. Găsiți integrala

Rezolvare: Să punem x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Apoi

Aici integrandul este o funcție rațională în raport cu x și Selectând un pătrat complet sub radical și făcând o înlocuire, integralele de tipul indicat sunt reduse la integrale de tipul deja considerat, adică la integrale de tipul Aceste integrale pot fi calculate folosind substituții trigonometrice adecvate.

Exemplul 33.7. Găsiți integrala

Rezolvare: Deoarece x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, atunci x+1=t, x=t-1, dx=dt. De aceea Sa punem

Notă: tip integral Este oportun să se găsească folosind substituția x=1/t.

15. Integrală determinată

Să fie definită o funcție pe un segment și să aibă o antiderivată asupra acestuia. Diferența se numește integrala definita funcțiile de-a lungul segmentului și denotă. Asa de,

Diferența se scrie în formă, atunci . Se numesc numere limitele integrării .

De exemplu, unul dintre antiderivate pentru o funcție. De aceea

16 . Dacă c este un număr constant și funcția ƒ(x) este integrabilă pe , atunci

adică factorul constant c poate fi scos din semnul integralei definite.

▼Să compunem suma integrală pentru funcția cu ƒ(x). Avem:

Apoi rezultă că funcția c ƒ(x) este integrabilă pe [a; b] și formula (38.1) este valabilă.▲

2. Dacă funcțiile ƒ 1 (x) și ƒ 2 (x) sunt integrabile pe [a;b], atunci integrabile pe [a; b] suma lor u

adică integrala sumei este egală cu suma integralelor.

▼
▲

Proprietatea 2 se aplică sumei oricărui număr finit de termeni.

3.

Această proprietate poate fi acceptată prin definiție. Această proprietate este confirmată și de formula Newton-Leibniz.

4. Dacă funcţia ƒ(x) este integrabilă pe [a; b] și a< с < b, то

adică integrala pe întregul segment este egală cu suma integralelor peste părțile acestui segment. Această proprietate se numește aditivitatea unei integrale definite (sau proprietatea aditivității).

La împărțirea segmentului [a;b] în părți, includem punctul c în numărul de puncte de împărțire (acest lucru se poate face datorită independenței limitei sumei integrale de metoda de împărțire a segmentului [a;b] în părți). Dacă c = x m, atunci suma integrală poate fi împărțită în două sume:

Fiecare dintre sumele scrise este integrală, respectiv, pentru segmentele [a; b], [a; s] și [s; b]. Trecând la limita în ultima egalitate ca n → ∞ (λ → 0), obținem egalitatea (38.3).

Proprietatea 4 este valabilă pentru orice locație a punctelor a, b, c (presupunem că funcția ƒ (x) este integrabilă pe segmentele mai mari rezultate).

Deci, de exemplu, dacă a< b < с, то

(au fost utilizate proprietățile 4 și 3).

5. „Teorema valorilor medii.” Dacă funcția ƒ(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci există o tonka cu є [a; b] astfel încât

▼După formula Newton-Leibniz avem

unde F"(x) = ƒ(x). Aplicând teorema Lagrange (teorema incrementului finit al unei funcții) la diferența F(b)-F(a), obținem

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Proprietatea 5 („teorema valorii medii”) pentru ƒ (x) ≥ 0 are o semnificație geometrică simplă: valoarea integralei definite este egală, pentru unele c є (a; b), cu aria unui dreptunghi cu înălțimea ƒ (c) și baza b-a (vezi Fig. 170). Număr

se numește valoarea medie a funcției ƒ(x) pe intervalul [a; b].

6. Dacă funcţia ƒ (x) îşi menţine semnul pe segmentul [a; b], unde a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ Prin „teorema valorii medii” (proprietatea 5)

unde c є [a; b]. Și deoarece ƒ(x) ≥ 0 pentru tot x О [a; b], atunci

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Prin urmare ƒ(с) (b-а) ≥ 0, i.e. ▲

7. Inegalitatea între funcțiile continue pe intervalul [a; b], (a

▼Deoarece ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, atunci când un< b, согласно свойству 6, имеем

Sau, conform proprietății 2,

Rețineți că este imposibil să diferențiezi inegalitățile.

8. Estimarea integralei. Dacă m și M sunt, respectiv, cea mai mică și cea mai mare valoare a funcției y = ƒ (x) pe segmentul [a; b], (a< b), то

▼Deoarece pentru orice x є [a;b] avem m≤ƒ(x)≤M, atunci, conform proprietății 7, avem

Aplicând proprietatea 5 integralelor extreme, obținem

▲

Dacă ƒ(x)≥0, atunci proprietatea 8 este ilustrată geometric: aria unui trapez curbiliniu este închisă între zonele dreptunghiurilor a căror bază este , și ale căror înălțimi sunt m și M (vezi Fig. 171).

9. Modulul unei integrale definite nu depășește integrala modulului integrandului:

▼Aplicând proprietatea 7 inegalităților evidente -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, obținem

Rezultă că

▲

10. Derivata unei integrale definite fata de o limita superioara variabila este egala cu integrandul in care variabila de integrare este inlocuita cu aceasta limita, i.e.

Calcularea ariei unei figuri este una dintre cele mai dificile probleme din teoria ariei. La cursul de geometrie a școlii, am învățat să găsim zonele formelor geometrice de bază, de exemplu, un cerc, triunghi, romb etc. Cu toate acestea, mult mai des trebuie să vă ocupați de calcularea ariilor unor cifre mai complexe. Când rezolvați astfel de probleme, trebuie să recurgeți la calculul integral.

În acest articol vom lua în considerare problema calculării ariei unui trapez curbiliniu și o vom aborda într-un sens geometric. Acest lucru ne va permite să aflăm legătura directă dintre integrala definită și aria unui trapez curbiliniu.

Anterior, dată fiind o funcție dată, ghidată de diverse formule și reguli, am găsit derivata ei. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar, alături de problema găsirii vitezei după o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării după o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).De fapt
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Răspuns: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite, se inventează notații speciale, de exemplu: pătrat (x 2) și rădăcină pătrată (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x) și etc Procesul de găsire a derivatei unei funcții date se numește diferenţiere, iar operația inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, este integrare.

Termenul „derivat” însuși poate fi justificat „în termeni de zi cu zi”: funcția y = f(x) „da naștere” unei noi funcții y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu o numesc „părinte” sau „producător”; ei spun că este, în raport cu funcția y" = f"( x), imagine primară sau primitivă.

Definiție. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru \(x \in X\)

În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).

Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată

Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).

Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.

Metode de integrare

Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)

Metoda integrării prin substituție presupune introducerea unei noi variabile de integrare (adică substituția). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Nu există metode generale de selectare a substituțiilor. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Să facem substituția \(x= \varphi(t) \) unde \(\varphi(t) \) este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrarea expresiilor de forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.

Integrare pe părți

Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă pentru integrare:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
sau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Această secțiune va discuta metoda de integrare a funcțiilor raționale. 7.1. Scurte informații despre funcțiile raționale Cea mai simplă funcție rațională este un polinom de gradul zeciuială, adică. o funcţie de forma unde sunt constante reale, iar a0 Ф 0. Polinomul Qn(x) al cărui coeficient a0 = 1 se numeşte redus. Un număr real b se numește rădăcina polinomului Qn(z) dacă Q„(b) = 0. Se știe că fiecare polinom Qn(x) cu coeficienți reali este descompus în mod unic în factori reali de forma în care p, q sunt coeficienți reali, iar factorii pătratici nu au rădăcini reale și, prin urmare, nu pot fi descompunabili în factori liniari reali. Combinând factori identici (dacă există) și presupunând, pentru simplitate, că polinomul Qn(x) este redus, putem scrie factorizarea acestuia sub forma în care sunt numere naturale. Deoarece gradul polinomului Qn(x) este egal cu n, atunci suma tuturor exponenților a, /3,..., A, adăugată la suma dublă a tuturor exponenților ω,..., q, este egală la n: Rădăcina a unui polinom se numește simplă sau simplă, dacă a = 1 și multiplă dacă a > 1; numărul a se numește multiplicitatea rădăcinii a. Același lucru este valabil și pentru alte rădăcini ale polinomului. O funcție rațională f(x) sau o fracție rațională este raportul a două polinoame și se presupune că polinoamele Pm(x) și Qn(x) nu au factori comuni. O fracție rațională este numită proprie dacă gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, adică. Dacă m n, atunci fracția rațională se numește fracție improprie, iar în acest caz, împărțind numărătorul la numitor conform regulii de împărțire a polinoamelor, se poate reprezenta sub forma în care sunt niște polinoame, iar ^^ este un fracție rațională. Exemplul 1. O fracție rațională este o fracție improprie. Împărțind la un „colț”, avem Prin urmare. Aici. și este o fracție adecvată. Definiție. Cele mai simple (sau elementare) fracții sunt fracții raționale din următoarele patru tipuri: unde sunt numere reale, k este un număr natural mai mare sau egal cu 2, iar trinomul pătrat x2 + px + q nu are rădăcini reale, deci -2 _2 este discriminantul său În algebră se demonstrează următoarea teoremă. Teorema 3. O fracție rațională propriu-zisă cu coeficienți reali, al cărei numitor Qn(x) are forma se descompune într-un mod unic în suma fracțiilor simple după regula Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea funcțiilor iraționale Prima substituție Euler A doua substituție Euler A treia substituție lui Euler În această expansiune există câteva constante reale, dintre care unele pot fi egale cu zero. Pentru a găsi aceste constante, partea dreaptă a egalității (I) este adusă la un numitor comun, iar apoi coeficienții la aceleași puteri ale lui x din numărătorii părților stângi și drepte sunt echivalați. Aceasta oferă un sistem de ecuații liniare din care se găsesc constantele necesare. . Această metodă de găsire a constantelor necunoscute se numește metoda coeficienților nedeterminați. Uneori este mai convenabil să folosiți o altă metodă de găsire a constantelor necunoscute, care constă în faptul că, după echivalarea numărătorilor, se obține o identitate față de x, în care argumentului x i se dau niște valori, de exemplu, valorile ​a rădăcinilor, rezultând ecuații pentru găsirea constantelor. Este convenabil mai ales dacă numitorul Q„(x) are doar rădăcini simple reale. Exemplul 2. Descompuneți fracția rațională în fracții mai simple.Această fracție este adecvată. Descompunem numitorul în înmulțiri: Deoarece rădăcinile numitorului sunt reale și diferite, atunci, pe baza formulei (1), descompunerea fracției în cea mai simplă va avea forma: Reducerea dreptei onoare „a acelei egalități la numitor comun și echivalând numărătorii de pe laturile sale stânga și dreapta, obținem identitatea sau Găsim coeficienți necunoscuți A. 2?, C în două moduri. Prima cale Echivalarea coeficienților pentru aceleași puteri ale lui x, t.v. cu (termen liber), și laturile stânga și dreapta ale identității, obținem un sistem liniar de ecuații pentru aflarea coeficienților necunoscuți A, B, C: Acest sistem are o soluție unică C A doua metodă. Deoarece rădăcinile numitorului sunt rupte la i 0, obținem 2 = 2A, de unde A * 1; g i 1, obținem -1 * -B, din care 5 * 1; x i 2, obținem 2 = 2C. de unde C» 1, iar expansiunea necesară are forma 3. Rehlozhnt nu cele mai simple fracții fracție rațională 4 Descompunem polinomul, care este în sens invers, în factori: . Numitorul are două rădăcini reale diferite: x\ = 0 multiplicitatea multiplicității 3. Prin urmare, descompunerea acestei fracții nu este cea mai simplă: Reducând partea dreaptă la un numitor comun, găsim sau Prima metodă. Echivalarea coeficienților pentru aceleași puteri ale lui x în părțile din stânga și din dreapta ultimei identități. obţinem un sistem liniar de ecuaţii.Acest sistem are o soluţie unică şi expansiunea necesară va fi cea de-a doua metodă. În identitatea rezultată, punând x = 0, obținem 1 a A2, sau A2 = 1; câmp* gay x = -1, obținem -3 i B), sau Bj i -3. La înlocuirea valorilor găsite ale coeficienților A\ și B) și identitatea va lua forma sau Punând x = 0, iar apoi x = -I. constatăm că = 0, B2 = 0 și. aceasta înseamnă B\ = 0. Astfel, obținem din nou Exemplul 4. Extindeți fracția rațională 4 în fracții mai simple.Numitorul fracției nu are rădăcini reale, deoarece funcția x2 + 1 nu dispare pentru nicio valoare reală a lui x. Prin urmare, descompunerea în fracții simple ar trebui să aibă forma De aici obținem sau. Echivalând coeficienții puterilor sinaxelor lui x în laturile stânga și dreapta ale ultimei egalități, vom avea unde găsim și, prin urmare, Trebuie remarcat că în unele cazuri descompunerea în fracții simple se pot obține mai rapid și mai ușor prin acțiune. într-un alt fel, fără a utiliza metoda coeficienților nedeterminați De exemplu, pentru a obține descompunerea fracției din exemplul 3, puteți adăuga și scădea la numărătorul 3x2 și împărțiți așa cum este indicat mai jos. 7.2. Integrarea fracțiilor simple, După cum sa menționat mai sus, orice fracție rațională improprie poate fi reprezentată ca suma unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise (§7), iar această reprezentare este unică. Integrarea unui polinom nu este dificilă, așa că luați în considerare problema integrării unei fracții raționale adecvate. Deoarece orice fracție rațională proprie poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple, integrarea ei se reduce la integrarea fracțiilor simple. Să luăm acum în considerare problema integrării lor. III. Pentru a găsi integrala celei mai simple fracții de al treilea tip, izolăm pătratul complet al binomului din trinomul pătrat: Deoarece al doilea termen este egal cu a2, unde și apoi facem substituția. Apoi, ținând cont de proprietățile liniare ale integralei, găsim: Exemplul 5. Aflați integrala 4 Funcția integrand este cea mai simplă fracție de al treilea tip, deoarece trinomul pătrat x1 + Ax + 6 nu are rădăcini reale (discriminantul său). este negativă: , iar numărătorul conține un polinom de gradul I. Prin urmare, procedăm astfel: 1) selectați un pătrat perfect la numitor 2) faceți o înlocuire (aici 3) cu * o integrală Pentru a găsi integrala cea mai simplă fracție a celui de-al patrulea tip, punem, ca mai sus, . Apoi obținem Integrala din dreapta notată cu A și o transformăm astfel: Integrala din dreapta este integrată de părți, presupunând de unde sau Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea iraționalelor funcții Prima substituție a lui Euler A doua substituție Euler A treia substituție Euler Am obținut așa-numita formulă recurentă, care ne permite să găsim integrala Jk pentru orice k = 2, 3,. .. . Într-adevăr, integrala J\ este tabelară: Introducând formula de recurență, găsim Cunoscând și punând A = 3, putem găsi ușor Jj și așa mai departe. În rezultatul final, înlocuind peste tot în loc de t și a expresiile lor în termeni de x și coeficienți p și q, obținem pentru integrala inițială expresia acesteia în termeni de x și numerele date M, LG, p, q. Exemplul 8. Nouă integrală „Funcția integrand este cea mai simplă fracție a celui de-al patrulea tip, deoarece discriminantul unui trinom pătrat este negativ, i.e. Aceasta înseamnă că numitorul nu are rădăcini reale, iar numărătorul este un polinom de gradul I. 1) Selectăm un pătrat complet la numitor 2) Facem o înlocuire: Integrala va lua forma: Punând în formula de recurență * = 2, a3 = 1. vom avea, și, prin urmare, integrala necesară este egală Revenind la variabila x, obținem în final 7.3. Caz general Din rezultatele paragrafelor. 1 și 2 din această secțiune urmează imediat o teoremă importantă. Teoremă! 4. Integrala nedefinită a oricărei funcții raționale există întotdeauna (pe intervale în care numitorul fracției Q„(x) φ 0) și se exprimă printr-un număr finit de funcții elementare, și anume, este o sumă algebrică, termenii dintre care pot fi doar înmulțite, fracții raționale, logaritmi naturali și arctangente. Deci, pentru a găsi integrala nedefinită a unei funcții fracționale-raționale, trebuie procedat în felul următor: 1) dacă fracția rațională este improprie, atunci prin împărțirea numărătorului la numitor, întreaga parte este izolată, adică această funcție. este reprezentată ca suma unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise; 2) atunci numitorul fracției proprii rezultate se descompune în produsul factorilor liniari și pătratici; 3) această fracție proprie se descompune în suma fracțiilor simple; 4) folosind liniaritatea integralei și formulele pasului 2, integralele fiecărui termen se găsesc separat. Exemplul 7. Aflați integrala M Deoarece numitorul este un polinom de ordinul trei, funcția integrand este o fracție improprie. Subliniem întreaga parte din ea: Prin urmare, vom avea. Numitorul unei fracții propriu-zise are phi rădăcini reale distincte: și, prin urmare, descompunerea ei în fracții simple are forma De unde găsim. Dând argumentului x valori egale cu rădăcinile numitorului, aflăm din această identitate că: Prin urmare, integrala cerută va fi egală cu Exemplul 8. Aflați integrala 4 Integrandul este o fracție proprie, al cărei numitor are două rădăcini reale diferite: x - O multiplicitatea lui 1 și x = 1 a multiplicității 3, Prin urmare, extinderea integrandului în fracții simple are forma Aducerea laturii drepte a acestei egalități la un numitor comun și reducerea ambelor părți ale egalității prin acest numitor, obținem sau. Echivalăm coeficienții pentru aceleași puteri ale lui x pe părțile din stânga și din dreapta acestei identități: De aici găsim. Înlocuind valorile găsite ale coeficienților în expansiune, vom avea.Integrând, găsim: Exemplul 9. Aflați integrala 4 Numitorul fracției nu are rădăcini reale. Prin urmare, expansiunea integrandului în fracții simple are forma Prin urmare sau Echivalând coeficienții pentru aceleași puteri ale lui x de pe laturile din stânga și din dreapta acestei identități, vom avea de unde găsim și, deci, Observație. În exemplul dat, funcția integrand poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple într-un mod mai simplu și anume, la numărătorul fracției selectăm binarul care se află la numitor, iar apoi facem împărțirea termen cu termen. : §8. Integrarea funcțiilor iraționale O funcție de forma în care Pm și £?„ sunt polinoame de tip grad, respectiv, în variabilele uub2,... se numește funcție rațională a ubu2j... De exemplu, un polinom de gradul doi în două variabile u\ și u2 are forma în care - unele constante reale, iar Exemplul 1, Funcția este o funcție rațională a variabilelor r și y, deoarece reprezintă raportul dintre un polinom de gradul III și un polinom de al cincilea grad, dar nu este o funcție de tisă. În cazul în care variabilele, la rândul lor, sunt funcții ale variabilei w: atunci funcția ] se numește funcție rațională a funcțiilor din Exemplu. O funcție este o funcție rațională a lui r și rvdikvlv Pryaivr 3. O funcție de formă nu este o funcție rațională a lui x și a radicalului y/r1 + 1, dar este o funcție rațională a funcțiilor. După cum arată exemplele, integralele lui iraționale funcțiile nu sunt întotdeauna exprimate prin funcții elementare. De exemplu, integralele întâlnite adesea în aplicații nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare; aceste integrale se numesc integrale eliptice de primul și respectiv al doilea fel. Să luăm în considerare acele cazuri când integrarea funcţiilor iraţionale se poate reduce, cu ajutorul unor substituţii, la integrarea funcţiilor raţionale. 1. Să fie necesar să găsim integrala în care R(x, y) este o funcție rațională a argumentelor sale x și y; m £ 2 - număr natural; a, 6, c, d sunt constante reale care satisfac condiția ad - bc ^ O (pentru ad - be = 0, coeficienții a și b sunt proporționali cu coeficienții c și d și, prin urmare, relația nu depinde de x ; aceasta înseamnă că în acest caz funcția integrand va fi o funcție rațională a variabilei x, a cărei integrare a fost discutată mai devreme). Să facem o schimbare de variabilă în această integrală, punând Deci exprimăm variabila x printr-o nouă variabilă Avem x = - o funcție rațională a lui t. În continuare găsim sau, după simplificare, Prin urmare, unde A1 (t) este o funcție rațională a lui *, deoarece funadia rațională a unei funcții raționale, precum și produsul funcțiilor raționale, sunt funcții raționale. Știm să integrăm funcții raționale. Fie Atunci integrala necesară să fie egală cu At. IvYti integrală 4 O funcție integrand* este o funcție rațională a. Așadar, punem t = Atunci Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea funcțiilor iraționale Prima substituție a lui Euler A doua substituție a lui Euler A treia substituție a lui Euler Astfel, obținem Primar 5. Aflați integrala Numitorul comun al fracției exponenții lui x este egal cu 12, deci integrand funcția poate fi reprezentată sub forma 1 _ 1_ ceea ce arată că este o funcție rațională a: Ținând cont de aceasta, să punem. În consecință, 2. Se consideră intefe de forma în care funcția subintefală este de așa natură încât prin înlocuirea radicalului \/ax2 + bx + c în ea cu y, obținem o funcție R(x) y) - rațională față de ambele argumente x și y. Această integrală este redusă la integrala unei funcții raționale a unei alte variabile folosind substituțiile lui Euler. 8.1. Prima substituție a lui Euler Fie coeficientul a > 0. Să se stabilească sau Prin urmare găsim x ca o funcție rațională a lui u, ceea ce înseamnă. Astfel, substituția indicată se exprimă rațional în termeni de *. Prin urmare, vom avea o remarcă. Prima substituție lui Euler poate fi luată și sub forma Exemplul 6. Să găsim integrala Prin urmare, vom avea dx substituția lui Euler, arătați că Y 8.2. A doua substituție a lui Euler Fie trinomul ax2 + bx + c să aibă rădăcini reale diferite R] și x2 (coeficientul poate avea orice semn). În acest caz, presupunem Deoarece atunci obținem Deoarece x,dxn y/ax2 + be + c sunt exprimate rațional în termeni de t, atunci integrala inițială este redusă la integrala unei funcții raționale, adică unde Problemă. Folosind prima substituție a lui Euler, arătați că este o funcție rațională a lui t. Exemplul 7. Găsiți integrala dx M funcția ] - x1 are rădăcini reale diferite. Prin urmare, aplicam a doua substitutie Euler.De aici gasim.Inlocuirea expresiilor gasite in Dat?v*gyvl; obținem 8.3. Al treilea Euler substascom Fie coeficientul c > 0. Facem o schimbare de variabilă punând. Rețineți că pentru a reduce integrala la integrala unei funcții raționale, prima și a doua substituție Euler sunt suficiente. De fapt, dacă discriminantul b2 -4ac > 0, atunci rădăcinile trinomului pătratic ax + bx + c sunt reale, iar în acest caz este aplicabilă a doua substituție Euler. Dacă, atunci semnul trinomului ax2 + bx + c coincide cu semnul coeficientului a, și întrucât trinomul trebuie să fie pozitiv, atunci a > 0. În acest caz, prima substituție a lui Euler este aplicabilă. Pentru a găsi integrale de tipul indicat mai sus, nu este întotdeauna recomandabil să folosiți substituțiile lui Euler, deoarece pentru acestea este posibil să găsiți alte metode de integrare care să conducă la obiectiv mai rapid. Să luăm în considerare câteva dintre aceste integrale. 1. Pentru a găsi integrale de formă, izolați pătratul perfect din pătratul trinomului: unde După aceasta, faceți o înlocuire și obțineți unde coeficienții a și P au semne diferite sau ambii sunt pozitivi. Pentru, și de asemenea pentru a > 0, integrala va fi redusă la un logaritm și, dacă da, la arcsinus. La. Găsiți imtegral 4 Sokak atunci. Presupunând că obținem Prmmar 9. Găsiți. Presupunând x -, vom avea 2. Integrala formei se reduce la integrala y de la pasul 1 după cum urmează. Având în vedere că derivata ()" = 2, o evidențiem la numărător: 4 Identificăm derivata expresiei radicalului în numărător. Deoarece (x, atunci vom avea, ținând cont de rezultatul exemplului 9, 3. Integrale de forma în care P„(x) este un polinom de grad n -lea, pot fi găsite prin metoda coeficienților nedeterminați, care constă în următoarele: Să presupunem că egalitatea este valabilă Exemplul 10. Integrală puternică unde Qn-i (s) este un polinom de (n - 1) grad cu coeficienți nedeterminați: Pentru a găsi coeficienții necunoscuti | diferențiam ambele părți ale (1): Apoi reducem partea dreaptă a egalității (2) la un numitor comun egal cu numitorul părții stângi, adică y/ax2 + bx + c, reducând ambele părți ale (2) prin care, obținem identitatea în ambele părți ale cărora conțin polinoame de grad n. Echivalarea coeficienților pentru aceleași grade de x în laturile stânga și dreapta ale (3), obținem n + 1 ecuații, din care găsim coeficienții necesari j4*(fc = 0,1,2,..., n ) Înlocuind valorile lor în partea dreaptă din (1) și găsind integrala + c obținem răspunsul pentru această integrală. Exemplul 11. Aflați integrala Să punem Diferențierea ambelor culori ale egalității, vom avea Aducerea laturii drepte la un numitor comun și reducând ambele părți cu acesta, obținem identitatea sau. Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, ajungem la un sistem de ecuații din care găsim = Apoi găsim integrala din dreapta egalității (4): În consecință, integrala necesară va fi egală cu

Răspunsuri gata privind funcțiile de integrare sunt preluate din testul pentru studenții anilor I și II ai catedrelor de matematică. Pentru a ne asigura că formulele din probleme și răspunsuri nu repetă condițiile sarcinilor, nu vom scrie condițiile. Știți deja că în probleme trebuie fie „Găsiți integrala”, fie „Calculați integrala”. Prin urmare, dacă aveți nevoie de răspunsuri despre integrare, începeți să studiați următoarele exemple.

Integrarea funcţiilor iraţionale

Exemplul 18. Efectuăm o schimbare de variabile sub integrală. Pentru a simplifica calculele, selectăm nu numai rădăcina, ci și întregul numitor pentru noua variabilă. După o astfel de înlocuire, integrala este transformată în suma a două integrale tabelare, care nu trebuie simplificate

După integrare, înlocuim variabila cu o substituție.
Exemplul 19. S-a cheltuit mult timp și spațiu pentru integrarea acestei funcții iraționale fracționale și nici măcar nu știm dacă o poți da seama de pe o tabletă sau telefon. Pentru a scăpa de iraționalitate, și aici avem de-a face cu rădăcina cubă, alegem funcția rădăcină la a treia putere pentru noua variabilă. În continuare, găsim diferența și înlocuim funcția anterioară cu integrala

Partea cea mai consumatoare de timp este programarea unei noi funcții pentru relațiile de putere și fracții.

După transformări, găsim imediat câteva dintre integrale, iar pe ultima o scriem în două, pe care o transformăm după formulele tabelare de integrare.

După toate calculele, nu uitați să reveniți la înlocuirea efectuată la început

Integrarea funcțiilor trigonometrice

Exemplul 20. Trebuie să găsim integrala sinusului la a 7-a putere. Conform regulilor, un sinus trebuie introdus într-o diferenţială (obţinem diferenţa cosinusului), iar sinusul la puterea a 6-a trebuie scris prin cosinus. Astfel ajungem la integrare din funcția noii variabile t = cos (x). În acest caz, va trebui să aduceți diferența în cub și apoi să integrați



Ca rezultat, obținem un polinom de ordinul 7 în cosinus.
Exemplul 21. În această integrală este necesar să se scrie cosinusul gradului al IV-lea în formule trigonometrice prin dependența de cosinusul gradului I. Apoi, aplicăm formula tabelară pentru integrarea cosinusului.


Exemplul 22. Sub integrală avem produsul dintre sinus și cosinus. Conform formulelor trigonometrice, scriem produsul prin diferența de sinusuri. Cum a fost obținut acest arc poate fi înțeles din analiza coeficienților pentru „x”. Apoi integrăm sinusurile

Exemplul 23. Aici avem atât o funcție sinus, cât și o funcție cosinus în numitor. Mai mult, formulele trigonometrice nu vor ajuta la simplificarea dependenței. Pentru a găsi integrala, aplicăm înlocuirea trigonometrică universală t=tan(x/2)

Din înregistrare este clar că numitorii se vor anula și vom obține un trinom pătrat în numitorul fracției. În el selectăm un pătrat complet și o parte liberă. După integrare, ajungem la logaritmul diferenței dintre factorii primi ai numitorului. Pentru a simplifica notația, atât numărătorul, cât și numitorul sub logaritm au fost înmulțiți cu doi.

La sfârșitul calculelor, în locul variabilei, înlocuim tangenta a jumătate din argument.
Exemplul 24. Pentru a integra funcția, scoatem pătratul cosinusului din paranteze, iar între paranteze scădem și adăugăm unul pentru a obține cotangenta.

În continuare, alegem cotangenta u = ctg (x) pentru noua variabilă, diferența acesteia ne va oferi factorul de care avem nevoie pentru simplificare. După substituție ajungem la o funcție care, atunci când este integrată, dă arctangenta.

Ei bine, nu uitați să vă schimbați în cotangent.
Exemplul 25. În ultima sarcină a testului, trebuie să integrați cotangenta unui unghi dublu la gradul 4.


În acest moment, testul privind integrarea a fost rezolvat și nici un singur profesor nu va găsi de vină în răspunsurile și justificarea transformărilor.
Dacă înveți cum să integrezi așa, atunci testele sau secțiunile pe tema integralelor nu sunt înfricoșătoare pentru tine. Toți ceilalți au ocazia să învețe sau să comande soluții de integrale de la noi (sau concurenții noștri :))).

Definiția 1

Mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date $y=f(x)$, definite pe un anumit segment, se numește integrală nedefinită a unei funcții date $y=f(x)$. Integrala nedefinită se notează cu simbolul $\int f(x)dx $.

cometariu

Definiția 2 poate fi scrisă după cum urmează:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Nu orice funcție irațională poate fi exprimată ca o integrală prin funcții elementare. Cu toate acestea, majoritatea acestor integrale pot fi reduse folosind substituții la integrale ale funcțiilor raționale, care pot fi exprimate în termeni de funcții elementare.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

eu

La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

Cu această substituție, fiecare putere fracțională a variabilei $x$ este exprimată printr-o putere întreagă a variabilei $t$. Ca urmare, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.

Exemplul 1

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Soluţie:

$k=4$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(matrice)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Când găsiți o integrală de forma $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

unde $k$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Ca urmare a acestei substituții, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.

Exemplul 2

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \dreapta|+C\]

După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \dreapta|+C.\]

III

La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, se realizează așa-numita substituție Euler (una dintre cele trei substituții posibile este folosit).

Prima înlocuire a lui Euler

Pentru cazul $a>

Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(a) $, obținem

Exemplul 3

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire (cazul $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

A doua înlocuire a lui Euler

Pentru cazul $c>0$ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(c) $, obținem

Exemplul 4

Efectuați integrarea:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ După ce am făcut invers înlocuire, obținem rezultatul final:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( matrice)\]

A treia înlocuire a lui Euler