În ce constă matricea? Algoritm pentru găsirea matricei inverse

Matrice, familiarizați-vă cu conceptele sale de bază. Elementele definitorii ale unei matrice sunt diagonalele sale și diagonalele sale laterale. Acasă începe cu elementul din primul rând, prima coloană și continuă până la elementul din ultima coloană, ultimul rând (adică merge de la stânga la dreapta). Diagonala laterală începe dimpotrivă în primul rând, dar în ultima coloană și continuă până la elementul care are coordonatele primei coloane și ultimul rând (merge de la dreapta la stânga).

Pentru a trece la următoarele definiții și operații algebrice cu matrici, studiați tipurile de matrici. Cele mai simple sunt pătratul, unitatea, zero și inversul. Numărul de coloane și rânduri se potrivește. Matricea transpusă, să o numim B, se obține din matricea A prin înlocuirea coloanelor cu rânduri. În unitate, toate elementele diagonalei principale sunt unu, iar celelalte sunt zerouri. Și în zero, chiar și elementele diagonalelor sunt zero. Matricea inversă este cea pe care matricea originală ajunge la forma de identitate.

De asemenea, matricea poate fi simetrică față de axele principale sau secundare. Adică, un element având coordonatele a(1;2), unde 1 este numărul rândului și 2 este numărul coloanei, este egal cu a(2;1). A(3;1)=A(1;3) și așa mai departe. Matricele potrivite sunt acelea în care numărul de coloane ale uneia este egal cu numărul de rânduri ale altuia (astfel de matrici pot fi înmulțite).

Principalele acțiuni care pot fi efectuate cu matrice sunt adunarea, înmulțirea și găsirea determinantului. Dacă matricele au aceeași dimensiune, adică au un număr egal de rânduri și coloane, atunci pot fi adăugate. Este necesar să adăugați elemente care se află în aceleași locuri în matrice, adică să adăugați a (m; n) cu c în (m; n), unde m și n sunt coordonatele corespunzătoare ale coloanei și rândului. Când se adună matrice, se aplică regula principală a adunării aritmetice obișnuite - când se schimbă locurile termenilor, suma nu se schimbă. Astfel, dacă în locul unui element simplu a există o expresie a + b, atunci aceasta poate fi adăugată unui element c al unei alte matrice proporționale conform regulilor a + (b + c) = (a + b) + c.

Puteți înmulți matricele potrivite prezentate mai sus. Aceasta produce o matrice în care fiecare element este suma elementelor înmulțite în perechi dintr-un rând de matrice A și o coloană a matricei B. La înmulțire, ordinea acțiunilor este foarte importantă. m*n nu este egal cu n*m.

De asemenea, una dintre acțiunile principale este găsirea. Se mai numește și determinant și se desemnează astfel: det. Această valoare este determinată modulo, adică nu este niciodată negativă. Cel mai simplu mod de a găsi determinantul este o matrice pătrată 2x2. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți elementele diagonalei principale și să scădeți din ele elementele multiplicate ale diagonalei secundare.

Acest subiect va acoperi operațiuni precum adunarea și scăderea matricelor, înmulțirea unei matrice cu un număr, înmulțirea unei matrice cu o matrice și transpunerea unei matrice. Toate simbolurile folosite pe această pagină sunt preluate din subiectul anterior.

Adunarea și scăderea matricelor.

Suma $A+B$ a matricelor $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se numește matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pentru toate $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline( 1,n) $.

O definiție similară este introdusă pentru diferența de matrice:

Diferența dintre matricele $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times n)=( c_(ij))$, unde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1, n)$.

Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: show\hide

Notația „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ variază de la 1 la m. De exemplu, notația $i=\overline(1,5)$ indică faptul că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.

Este de remarcat faptul că operațiile de adunare și scădere sunt definite numai pentru matrice de aceeași dimensiune. În general, adunarea și scăderea matricelor sunt operații clare intuitiv, deoarece ele înseamnă în esență doar însumarea sau scăderea elementelor corespunzătoare.

Exemplul nr. 1

Sunt date trei matrice:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Este posibil să găsim matricea $A+F$? Găsiți matrice $C$ și $D$ dacă $C=A+B$ și $D=A-B$.

Matricea $A$ conține 2 rânduri și 3 coloane (cu alte cuvinte, dimensiunea matricei $A$ este $2\xtime 3$), iar matricea $F$ conține 2 rânduri și 2 coloane. Dimensiunile matricelor $A$ și $F$ nu se potrivesc, așa că nu le putem adăuga, adică. operația $A+F$ nu este definită pentru aceste matrici.

Dimensiunile matricelor $A$ și $B$ sunt aceleași, adică. Datele matricei conțin un număr egal de rânduri și coloane, astfel încât operația de adăugare este aplicabilă acestora.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Să găsim matricea $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)-\left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Răspuns: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ cu numărul $\alpha$ este matricea $B_(m\times n)=(b_(ij))$, unde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.

Mai simplu spus, înmulțirea unei matrice cu un anumit număr înseamnă înmulțirea fiecărui element dintr-o matrice dată cu acel număr.

Exemplul nr. 2

Matricea este dată: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Găsiți matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ și $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matrice) (ccc) 3\cdot(-1) și 3\cdot(-2) și 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 și 3\cdot 9 și 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matrice) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Notația $-A$ este o notație scurtă pentru $-1\cdot A$. Adică, pentru a găsi $-A$ trebuie să înmulțiți toate elementele matricei $A$ cu (-1). În esență, aceasta înseamnă că semnul tuturor elementelor matricei $A$ se va schimba în opus:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ stânga(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Răspuns: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Produsul a două matrice.

Definiția acestei operațiuni este greoaie și, la prima vedere, neclară. Prin urmare, mai întâi voi indica o definiție generală, apoi vom analiza în detaliu ce înseamnă aceasta și cum să lucrăm cu ea.

Produsul matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ de la matricea $B_(n\times k)=(b_(ij))$ este matricea $C_(m\times k )=(c_( ij))$, pentru care fiecare element $c_(ij)$ este egal cu suma produselor elementelor corespondente ale rândului i al matricei $A$ de elementele j -a coloană a matricei $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Să ne uităm la înmulțirea matricei pas cu pas folosind un exemplu. Cu toate acestea, ar trebui să rețineți imediat că nu toate matricele pot fi multiplicate. Dacă dorim să înmulțim matricea $A$ cu matricea $B$, atunci trebuie mai întâi să ne asigurăm că numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $B$ (astfel de matrici sunt adesea numite ne-am înțeles asupra). De exemplu, matricea $A_(5\times 4)$ (matricea conține 5 rânduri și 4 coloane) nu poate fi înmulțită cu matricea $F_(9\times 8)$ (9 rânduri și 8 coloane), deoarece numărul de coloane ale matricei $A $ nu este egal cu numărul de rânduri ale matricei $F$, adică. $4\neq 9$. Dar puteți înmulți matricea $A_(5\times 4)$ cu matricea $B_(4\times 9)$, deoarece numărul de coloane ale matricei $A$ este egal cu numărul de rânduri ale matricei $ B$. În acest caz, rezultatul înmulțirii matricelor $A_(5\times 4)$ și $B_(4\times 9)$ va fi matricea $C_(5\times 9)$, care conține 5 rânduri și 9 coloane:

Exemplul nr. 3

Matrici date: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrice) \right)$ și $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 și 3 \\ 6 și 20 \\ 7 și 0 \\ 12 și -4 \end (matrice) \right) $. Găsiți matricea $C=A\cdot B$.

Mai întâi, să determinăm imediat dimensiunea matricei $C$. Deoarece matricea $A$ are dimensiunea $3\x 4$, iar matricea $B$ are dimensiunea $4\x 2$, atunci dimensiunea matricei $C$ este: $3\x 2$:

Deci, ca rezultat al produsului matricelor $A$ și $B$, ar trebui să obținem o matrice $C$, formată din trei rânduri și două coloane: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) și c_( 12) \\ c_(21) și c_(22) \\ c_(31) și c_(32) \end(array) \right)$. Dacă desemnarea elementelor ridică întrebări, atunci puteți consulta subiectul anterior: „Tipuri de matrice”, la începutul căruia este explicată desemnarea elementelor matricei. Scopul nostru: să găsim valorile tuturor elementelor matricei $C$.

Să începem cu elementul $c_(11)$. Pentru a obține elementul $c_(11)$, trebuie să găsiți suma produselor elementelor din primul rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

Pentru a găsi elementul $c_(11)$ în sine, trebuie să înmulțiți elementele primului rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei $B$, adică. primul element la primul, al doilea la al doilea, al treilea la al treilea, al patrulea la al patrulea. Rezumam rezultatele obtinute:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Să continuăm soluția și să găsim $c_(12)$. Pentru a face acest lucru, va trebui să înmulți elementele din primul rând al matricei $A$ și din a doua coloană a matricei $B$:

Similar cu precedenta, avem:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Toate elementele primului rând al matricei $C$ au fost găsite. Să trecem la a doua linie, care începe cu elementul $c_(21)$. Pentru a-l găsi, va trebui să înmulți elementele celui de-al doilea rând al matricei $A$ și prima coloană a matricei $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Găsim următorul element $c_(22)$ prin înmulțirea elementelor celui de-al doilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Pentru a găsi $c_(31)$, înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele primei coloane a matricei $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Și, în final, pentru a găsi elementul $c_(32)$, va trebui să înmulțiți elementele celui de-al treilea rând al matricei $A$ cu elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Toate elementele matricei $C$ au fost găsite, tot ce rămâne este să scrieți că $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matrice) \right)$ . Sau, pentru a scrie integral:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Răspuns: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Apropo, adesea nu există niciun motiv pentru a descrie în detaliu locația fiecărui element al matricei rezultate. Pentru matricele a căror dimensiune este mică, puteți face acest lucru:

De asemenea, este de remarcat faptul că înmulțirea matricei este necomutativă. Aceasta înseamnă că în cazul general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Numai pentru unele tipuri de matrice, care sunt numite permutabil(sau naveta), egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ este adevărată. Pe baza necomutativității înmulțirii trebuie să indicăm exact cum înmulțim expresia cu o anumită matrice: în dreapta sau în stânga. De exemplu, expresia „înmulțiți ambele părți ale egalității $3E-F=Y$ cu matricea $A$ din dreapta” înseamnă că doriți să obțineți următoarea egalitate: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpusă față de matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ este matricea $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pentru elementele care $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Mai simplu spus, pentru a obține o matrice transpusă $A^T$, trebuie să înlocuiți coloanele din matricea originală $A$ cu rândurile corespunzătoare conform acestui principiu: a existat un prim rând - va fi o primă coloană ; a existat un al doilea rând - va fi o a doua coloană; a fost un al treilea rând - va fi o a treia coloană și așa mai departe. De exemplu, să găsim matricea transpusă în matricea $A_(3\times 5)$:

În consecință, dacă matricea originală a avut o dimensiune de $3\times 5$, atunci matricea transpusă are o dimensiune de $5\times 3$.

Unele proprietăți ale operațiilor pe matrice.

Aici se presupune că $\alpha$, $\beta$ sunt niște numere și $A$, $B$, $C$ sunt matrici. Pentru primele patru proprietăți am indicat nume, restul pot fi denumite prin analogie cu primele patru.

$A+B=B+A$ (comutativitatea adunării)
$A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociativitatea adunării)
$(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributivitatea înmulțirii cu o matrice în raport cu adunarea numerelor)
$\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributivitatea înmulțirii cu un număr relativ la adunarea matricei)
$A(BC)=(AB)C$
$(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
$A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
$A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, unde $E$ este matricea de identitate a ordinului corespunzător.
$A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, unde $O$ este o matrice zero de dimensiunea corespunzătoare.
$\left(A^T \dreapta)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(AB)^T=B^T\cdot A^T$
$\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

În partea următoare, vom lua în considerare operația de ridicare a unei matrici la o putere întreagă nenegativă și vom rezolva, de asemenea, exemple în care este necesar să se efectueze mai multe operații pe matrice.

Scopul serviciului. Calculator matrice conceput pentru rezolvarea expresiilor matriceale, cum ar fi 3A-CB 2 sau A -1 +B T .

Instrucțiuni. Pentru o soluție online, trebuie să specificați o expresie matriceală. În a doua etapă, va fi necesar să se clarifice dimensiunea matricelor.

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1), exponențiere (A^2, B^3), transpunere matrice (A^T).

Operații valide: înmulțire (*), adunare (+), scădere (-), matrice inversă A^(-1), exponențiere (A^2, B^3), transpunere matrice (A^T).
Pentru a efectua o listă de operații, utilizați un separator punct și virgulă (;). De exemplu, pentru a efectua trei operații:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
va trebui să o scrieți astfel: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

O matrice este un tabel numeric dreptunghiular cu m rânduri și n coloane, astfel încât matricea poate fi reprezentată schematic ca dreptunghi.
Matrice zero (matrice nulă) este o matrice ale cărei elemente sunt toate egale cu zero și sunt notate cu 0.
Matrice de identitate se numește matrice pătrată de forma

Două matrice A și B sunt egale, dacă au aceeași dimensiune și elementele lor corespunzătoare sunt egale.
Matrice singulară este o matrice al cărei determinant este egal cu zero (Δ = 0).

Să definim operații de bază pe matrici.

Adăugarea matricei

Definiție . Suma a două matrice de aceeași dimensiune este o matrice de aceleași dimensiuni, ale cărei elemente se găsesc după formula

. Notat cu C = A+B.

Exemplul 6. .
Operația de adăugare a matricei se extinde la cazul oricărui număr de termeni. Evident A+0=A .
Să subliniem încă o dată că pot fi adăugate numai matrice de aceeași dimensiune; Pentru matrice de dimensiuni diferite, operația de adăugare nu este definită.

Scăderea matricelor

Definiție . Diferența B-A a matricelor B și A de aceeași dimensiune este o matrice C astfel încât A+ C = B.

Înmulțirea matricei

Definiție . Produsul unei matrice cu un număr α este o matrice obținută din A prin înmulțirea tuturor elementelor sale cu α, .
Definiție . Să fie date două matrice

și , iar numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B. Produsul lui A cu B este o matrice ale cărei elemente se găsesc după formula

.
Notat cu C = A·B.
Schematic, operația de înmulțire a matricei poate fi descrisă după cum urmează:

și regula pentru calcularea unui element dintr-un produs:

Să subliniem încă o dată că produsul A·B are sens dacă și numai dacă numărul de coloane al primului factor este egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea, iar produsul produce o matrice al cărei număr de rânduri este egal cu numărul de rânduri al primului factor, iar numărul de coloane este egal cu numărul de coloane al celui de-al doilea. Puteți verifica rezultatul înmulțirii folosind un calculator special online.

Exemplul 7. Matrici date Și . Găsiți matrice C = A·B și D = B·A.
Soluţie. În primul rând, rețineți că produsul A·B există deoarece numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de rânduri ale lui B.

Rețineți că în cazul general A·B≠B·A, i.e. produsul matricelor este anticomutativ.
Să găsim B·A (înmulțirea este posibilă).

Exemplul 8. Dată o matrice . Găsiți 3A 2 – 2A.
Soluţie.

.
; .
.
Să notăm următorul fapt interesant.
După cum știți, produsul a două numere diferite de zero nu este egal cu zero. Pentru matrice, este posibil să nu apară o circumstanță similară, adică produsul matricelor non-nule se poate dovedi egal cu matricea nulă.

Rezolvarea matricilor– un concept care generalizează operaţiile pe matrice. O matrice matematică este un tabel de elemente. Un tabel similar cu m rânduri și n coloane se spune că este o matrice m cu n.
Vedere generală a matricei

Elementele principale ale matricei:
Diagonala principală. Este format din elementele a 11, a 22.....a mn
Diagonala laterală. Este compus din elementele a 1n, și 2n-1.....a m1.
Înainte de a trece la rezolvarea matricelor, să luăm în considerare principalele tipuri de matrice:
Pătrat– în care numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane (m=n)
Zero – toate elementele acestei matrice sunt egale cu 0.
Matrice transpusă- matricea B obtinuta din matricea originala A prin inlocuirea randurilor cu coloane.
Singur– toate elementele diagonalei principale sunt egale cu 1, toate celelalte sunt 0.
matrice inversă- o matrice, înmulțită cu care din matricea originală rezultă matricea de identitate.
Matricea poate fi simetrică în raport cu diagonalele principale și secundare. Adică dacă a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. atunci matricea este simetrică față de diagonala principală. Doar matricele pătrate sunt simetrice.
Acum să trecem direct la întrebarea cum să rezolvăm matrice.

Adăugarea matricei.

Matricele pot fi adăugate algebric dacă au aceeași dimensiune. Pentru a adăuga matricea A cu matricea B, trebuie să adăugați elementul din primul rând al primei coloane a matricei A cu primul element al primului rând al matricei B, elementul din a doua coloană a primului rând al matricei A cu elementul coloanei a doua a primului rând al matricei B etc.
Proprietățile adăugării
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Înmulțirea matricei.

Matricele pot fi înmulțite dacă sunt consistente. Matricele A și B sunt considerate consistente dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B.
Dacă A este de dimensiunea m cu n, B este de dimensiunea n cu k, atunci matricea C=A*B va fi de dimensiunea m cu k și va fi compusă din elemente

Unde C 11 este suma produselor perechi ale elementelor unui rând al matricei A și unei coloane a matricei B, adică elementul este suma produsului unui element din prima coloană a primului rând al matricei A cu un element din prima coloană a primului rând al matricei B, un element al celei de-a doua coloane a primului rând al matricei A cu un element al primei coloane a celui de-al doilea rând matrice B etc.
La înmulțire, ordinea înmulțirii este importantă. A*B nu este egal cu B*A.

Găsirea determinantului.

Orice matrice pătrată poate genera un determinant sau un determinant. Scrie det. Sau | elemente de matrice |
Pentru matrice de dimensiunea 2 cu 2. Determinați că există o diferență între produsul elementelor diagonalei principale și elementele diagonalei secundare.

Pentru matrici cu dimensiuni de 3 cu 3 sau mai mult. Operația de găsire a determinantului este mai complicată.
Să introducem conceptele:
Element minor– este determinantul unei matrice obținute din matricea originală prin tăierea rândului și coloanei matricei originale în care a fost situat acest element.
Complement algebric elementul unei matrice este produsul dintre minorul acestui element cu -1 la puterea sumei rândului și coloanei matricei originale în care a fost situat acest element.
Determinantul oricărei matrice pătrate este egal cu suma produsului elementelor oricărui rând al matricei și a complementelor algebrice corespunzătoare.

Inversarea matricei

Inversarea matricei este procesul de găsire a inversului unei matrice, a cărei definiție am dat-o la început. Matricea inversă se notează în același mod ca și cea originală cu adăugarea gradului -1.
Găsiți matricea inversă folosind formula.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Unde A * T este matricea transpusă a complementelor algebrice.

Am realizat exemple de rezolvare a matricelor sub forma unui tutorial video

:

Dacă doriți să vă dați seama, asigurați-vă că îl vizionați.

Acestea sunt operațiile de bază pentru rezolvarea matricelor. Dacă aveți întrebări suplimentare despre cum se rezolvă matrice, nu ezitați să scrieți în comentarii.

Dacă tot nu vă puteți da seama, încercați să contactați un specialist.

Acesta este un concept care generalizează toate operațiile posibile efectuate cu matrice. Matricea matematică - tabelul elementelor. Despre o masă unde m linii şi n coloane, se spune că această matrice are dimensiunea m pe n.

Vedere generală a matricei:

Pentru solutii matriceale este necesar să înțelegeți ce este o matrice și să cunoașteți parametrii ei principali. Elementele principale ale matricei:

Diagonala principală, constând din elemente un 11, un 22…..a mn.
Diagonala laterală formată din elemente a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Principalele tipuri de matrice:

Pătratul este o matrice în care numărul de rânduri = numărul de coloane ( m=n).
Zero - unde toate elementele matricei = 0.
Matrice transpusă - matrice ÎN, care a fost obținut din matricea originală A prin înlocuirea rândurilor cu coloane.
Unitate - toate elementele diagonalei principale = 1, toate celelalte = 0.
O matrice inversă este o matrice care, atunci când este înmulțită cu matricea originală, are ca rezultat o matrice de identitate.

Matricea poate fi simetrică în raport cu diagonalele principale și secundare. Adică dacă a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, atunci matricea este simetrică față de diagonala principală. Numai matricele pătrate pot fi simetrice.

Metode de rezolvare a matricilor.

Aproape tot metode de rezolvare a matricei consta in gasirea determinantului acestuia n-a ordine și majoritatea sunt destul de greoaie. Pentru a găsi determinantul ordinului 2 și 3 există alte metode, mai raționale.

Găsirea determinanților de ordinul 2.

Pentru a calcula determinantul unei matrice A Ordinul al 2-lea, este necesar să se scadă produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale:

Metode de găsire a determinanților de ordinul 3.

Mai jos sunt regulile pentru găsirea determinantului de ordinul 3.

Regula simplificată a triunghiului ca una dintre metode de rezolvare a matricei, poate fi descris astfel:

Cu alte cuvinte, produsul elementelor din primul determinant care sunt legate prin linii drepte este luat cu semnul „+”; De asemenea, pentru al 2-lea determinant, produsele corespunzătoare sunt luate cu semnul „-”, adică conform următoarei scheme:

La rezolvarea matricilor folosind regula lui Sarrus, în dreapta determinantului, se adună primele 2 coloane și produsele elementelor corespunzătoare de pe diagonala principală și pe diagonalele care sunt paralele cu acesta se iau cu semnul „+”; și produsele elementelor corespunzătoare ale diagonalei secundare și diagonalele care sunt paralele cu aceasta, cu semnul „-”:

Descompunerea determinantului într-un rând sau coloană la rezolvarea matricilor.

Determinantul este egal cu suma produselor elementelor rândului determinantului și a complementelor lor algebrice. De obicei este selectat rândul/coloana care conține zerouri. Rândul sau coloana de-a lungul căreia se efectuează descompunerea va fi indicată printr-o săgeată.

Reducerea determinantului la formă triunghiulară la rezolvarea matricilor.

La rezolvarea matricilor metoda de reducere a determinantului la o formă triunghiulară, funcționează astfel: folosind cele mai simple transformări pe rânduri sau coloane, determinantul devine triunghiular și apoi valoarea sa, în conformitate cu proprietățile determinantului, va fi egală cu produsul a elementelor care se află pe diagonala principală.

Teorema lui Laplace pentru rezolvarea matricilor.

Când rezolvați matrice folosind teorema lui Laplace, trebuie să cunoașteți teorema în sine. Teorema lui Laplace: Fie Δ - acesta este un factor determinant n-a ordine. Selectăm oricare k rânduri (sau coloane), furnizate k≤ n - 1. În acest caz, suma produselor tuturor minorilor k-a ordine conținută în selectat k rândurile (coloanele), prin complementele lor algebrice vor fi egale cu determinantul.

Rezolvarea matricei inverse.

Secvența de acțiuni pentru soluții cu matrice inversă:

Determinați dacă o matrice dată este pătrată. Dacă răspunsul este negativ, devine clar că nu poate exista o matrice inversă pentru acesta.
Calculăm complemente algebrice.
Compunem o matrice de unire (mutuală, adjunctă). C.
Compunem matricea inversă din adunări algebrice: toate elementele matricei adiacente Cîmpărțiți la determinantul matricei inițiale. Matricea finală va fi matricea inversă necesară față de cea dată.
Verificăm munca făcută: înmulțiți matricea inițială și matricea rezultată, rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Rezolvarea sistemelor matriceale.

Pentru solutii ale sistemelor matriceale Cel mai des este folosită metoda Gaussiană.

Metoda Gauss este o metodă standard de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) și constă în faptul că variabilele sunt eliminate succesiv, adică, cu ajutorul modificărilor elementare, sistemul de ecuații este adus la un sistem echivalent de triunghiuri. forma si din ea, secvential, pornind de la aceasta din urma (dupa numar), gasiti fiecare element al sistemului.

metoda Gauss este cel mai versatil și cel mai bun instrument pentru găsirea de soluții matrice. Dacă un sistem are un număr infinit de soluții sau sistemul este incompatibil, atunci nu poate fi rezolvat folosind regula lui Cramer și metoda matricei.

Metoda Gauss presupune, de asemenea, mișcări directe (reducerea matricei extinse la o formă în trepte, adică obținerea de zerouri sub diagonala principală) și inversă (obținerea de zerouri deasupra diagonalei principale a matricei extinse). Mișcarea înainte este metoda Gauss, mișcarea inversă este metoda Gauss-Jordan. Metoda Gauss-Iordan diferă de metoda Gauss doar în succesiunea eliminării variabilelor.