Minor principal. Găsiți rangul unei matrice: metode și exemple

Determinanții matricilor sunt adesea utilizați în calcul, algebră liniară și geometrie analitică. În afara lumii academice, determinanții matricei sunt în mod constant necesari de către ingineri și programatori, în special cei care lucrează cu grafica pe computer. Dacă știți deja cum să găsiți determinantul unei matrice 2x2, atunci singurele instrumente de care aveți nevoie pentru a găsi determinantul unei matrice 3x3 sunt adunarea, scăderea și înmulțirea.

Pași

Găsirea unui determinant

Scrieți o matrice de 3 x 3. Să notăm o matrice de dimensiunea 3 x 3, pe care o notăm M, și să găsim determinantul |M|. Următoarea este notația generală a matricei pe care o vom folosi și matricea pentru exemplul nostru:

M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle M=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_ (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end(pmatrix)))

Selectați un rând sau o coloană a matricei. Acest rând (sau coloană) va fi referința. Rezultatul va fi același, indiferent de rândul sau coloana pe care o selectați. Pentru acest exemplu, să luăm prima linie. Veți găsi mai târziu câteva sfaturi despre cum să selectați un rând sau o coloană pentru a ușura calculele.
- Să selectăm primul rând al matricei M din exemplul nostru. Încercuiește numerele 1 5 3. În formă generală, încercuiește a 11 a 12 a 13 .
Tăiați rândul sau coloana cu primul element. Consultați rândul de referință (sau coloana de referință) și selectați primul element. Desenați o linie orizontală și verticală prin acest element, tăind astfel coloana și rândul cu acest element. Ar trebui să rămână patru numere. Vom considera aceste elemente ca fiind o nouă matrice de dimensiune 2 x 2.
- În exemplul nostru, rândul de referință ar fi 1 5 3. Primul element se află la intersecția primei coloane și a primului rând. Tăiați rândul și coloana cu acest element, adică prima linie și prima coloană. Scrieți elementele rămase ca o matrice 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Aflați determinantul unei matrice 2 x 2. Amintiți-vă că determinantul unei matrice (a b c d) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\\c&d\end(pmatrix))) calculat ca ad-bc. Din aceasta, puteți calcula determinantul matricei 2 x 2 rezultate, pe care îl puteți nota cu X dacă doriți Înmulțiți cele două numere ale matricei X, conectate în diagonală de la stânga la dreapta (adică astfel: \) . Apoi scade rezultatul înmulțirii celorlalte două numere în diagonală de la dreapta la stânga (adică astfel: /). Utilizați această formulă pentru a calcula determinantul matricei pe care tocmai ați obținut-o.

Înmulțiți răspunsul rezultat cu elementul de matrice selectat M. Amintiți-vă ce element din rândul (sau coloana) de referință am folosit când am tăiat alte elemente din rând și coloană pentru a obține o nouă matrice. Înmulțiți acest element cu minorul rezultat (determinantul matricei 2x2, pe care am notat-o cu X).
- În exemplul nostru, am ales elementul a 11, care a fost egal cu 1. Înmulțiți-l cu -34 (determinantul unei matrice 2x2) și obținem 1*-34 = -34 .
Determinați semnul rezultatului obținut.În continuare, va trebui să înmulțiți rezultatul cu 1 sau cu -1 pentru a obține complement algebric (cofactor) elementul selectat. Semnul cofactorului va depinde de locul în care se află elementul în matricea 3x3. Amintiți-vă această diagramă simplă de semne pentru a cunoaște semnul cofactorului:
Repetați toți pașii de mai sus cu al doilea element al rândului (sau coloanei) de referință. Reveniți la matricea originală 3x3 și la rândul pe care l-am încercuit chiar la începutul calculului. Repetați toate acțiunile cu acest element:
- Tăiați rândul și coloana cu acest element.În exemplul nostru, trebuie să selectăm elementul a 12 (egal cu 5). Taiați primul rând (1 5 3) și a doua coloană (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix))) matrici.
- Scrieți elementele rămase ca o matrice 2x2.În exemplul nostru, matricea va arăta ca (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\\4&2\end(pmatrix)))
- Găsiți determinantul acestei noi matrice 2x2. Utilizați formula ad - bc de mai sus. (2*2 - 7*4 = -24)
- Înmulțiți determinantul rezultat cu elementul selectat al matricei 3x3. -24 * 5 = -120
- Verificați pentru a vedea dacă trebuie să înmulțiți rezultatul cu -1. Să folosim formula (-1) ij pentru a determina semnul complementului algebric. Pentru elementul a 12 pe care l-am selectat, tabelul arată semnul „-”, iar formula dă un rezultat similar. Adică trebuie să schimbăm semnul: (-1)*(-120) = 120 .
Repetați cu al treilea element.În continuare, va trebui să găsiți încă un complement algebric. Calculați-l pentru ultimul element al rândului de referință sau al coloanei de referință. Următoarea este o scurtă descriere a modului în care este calculat complementul algebric al unui 13 în exemplul nostru:
- Tăiați primul rând și a treia coloană pentru a obține o matrice (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix)))
- Determinantul său este 2*6 - 4*4 = -4.
- Înmulțiți rezultatul cu elementul a 13: -4 * 3 = -12.
- Elementul a 13 are semnul + în tabelul de mai sus, deci răspunsul va fi -12 .
Adunați rezultatele. Acesta este ultimul pas. Trebuie să adăugați complementele algebrice rezultate ale elementelor rândului de referință (sau coloanei de referință). Adunați-le și obțineți valoarea determinantului unei matrice 3x3.
- În exemplul nostru, determinantul este egal cu -34 + 120 + -12 = 74 .
Cum să simplificăm sarcina
1. Alegeți ca rând (sau coloană) de referință pe cel care are mai multe zerouri. Amintiți-vă că puteți alege ca referință orice rând sau coloană. Alegerea rândului sau coloanei de referință nu afectează rezultatul. Dacă selectați rândul cu cele mai multe zerouri, va trebui să faceți mai puține calcule deoarece va trebui să calculați doar complementele algebrice pentru elementele diferite de zero. De aceea:
  - Să presupunem că ați selectat rândul 2 cu elementele a 21 , a 22 și a 23 . Pentru a găsi determinantul, va trebui să găsiți determinanții a trei matrici diferite 2x2. Să le numim A 21, A 22 și A 23.
  - Adică, determinantul unei matrice 3x3 este egal cu un 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 |A 23 |.
  - Dacă atât un 22 cât și un 23 sunt 0, atunci formula noastră devine mult mai scurtă a 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 |A 21 |. Adică, este necesar să se calculeze doar complementul algebric al unui element.
2. Utilizați adăugarea de rânduri pentru a simplifica o matrice. Dacă luați un rând și adăugați altul, determinantul matricei nu se va schimba. Același lucru este valabil și pentru coloane. Puteți face acest lucru de mai multe ori sau puteți înmulți valorile șirului cu o constantă (înainte de a adăuga) pentru a obține cât mai multe zerouri. Făcând acest lucru poate economisi mult timp.
  - De exemplu, avem o matrice de trei rânduri: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))
  - Pentru a scăpa de 9 în locul elementului a 11, putem înmulți a doua linie cu -3 și adăugăm rezultatul la prima. Noua prima linie va fi + [-9 -3 0] = .
  - Adică obținem o nouă matrice (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))Încercați să faceți același lucru cu coloanele pentru a obține un zero în locul elementului a 12.
3. Amintiți-vă că calcularea determinantului matricelor triunghiulare este mult mai ușoară. Determinantul matricelor triunghiulare se calculează ca produsul elementelor de pe diagonala principală, de la un 11 în colțul din stânga sus la un 33 în colțul din dreapta jos. În acest caz vorbim de matrici triunghiulare cu dimensiunile 3x3. Matricele triunghiulare pot fi de următoarele tipuri, în funcție de locație diferit de zero valori:
  - Matricea triunghiulară superioară: Toate elementele diferite de zero sunt pe și deasupra diagonalei principale. Toate elementele de sub diagonala principală sunt zero.
  - Matricea triunghiulară inferioară: Toate elementele diferite de zero sunt dedesubt și pe diagonala principală.
  - Matricea diagonală: Toate elementele diferite de zero sunt pe diagonala principală. Este un caz special al matricelor descrise mai sus.
  - Metoda descrisă se aplică matricelor pătrate de orice rang. De exemplu, dacă o utilizați pentru o matrice 4x4, atunci după „barare” vor rămâne matrice 3x3, pentru care determinantul va fi calculat în modul de mai sus. Fiți pregătiți pentru faptul că calcularea manuală a determinantului pentru matrice de astfel de dimensiuni este o sarcină foarte laborioasă!
  - Dacă toate elementele unui rând sau coloană sunt 0, atunci determinantul matricei este, de asemenea, 0.

Lasă matricea să evidențieze
orice k rânduri și k coloane, k și k. Elementele situate la intersecția acestor rânduri și coloane formează o matrice pătrată A¢ de ordinul k ( submatrice matricea A).
Determinantul său se numește minor de ordinul k al unei matrice date A. Evident, în cazul general pot exista mai multe astfel de minore ale matricei A. În acest caz, ordinea maximă a minorilor este egală cu minimul numerelor m și n, adică. . Dintre toate minorele posibile ale matricei A, le selectăm pe cele care sunt diferite de zero. La rândul său, printre acești minori se poate găsi cel puțin un minor de cel mai înalt nivel.

Definiție. Ordinul cel mai înalt al unui minor diferit de zero se numește rangul matricei.

Definiție. O minoră diferită de zero a unei matrice a cărei ordine este egală cu rangul matricei se numește baza minoră a acestei matrice.

Se numesc rânduri și coloane la intersecția cărora există o bază minoră de bază.

În general, o matrice poate avea mai multe minore de bază.

Următoarea teoremă principală, pe care o prezentăm fără demonstrație, joacă un rol important.

Teorema 3.6.(despre minorul de bază). Rândurile de bază (coloanele de bază) ale matricei sunt liniar independente. Orice rând (orice coloană) din matricea A este o combinație liniară de rânduri de bază (coloane de bază).

Astfel, dacă rangul matricei A este r, atunci această matrice trebuie să aibă un minor r ordinul, diferit de zero, și toți minorii a căror ordine este mai mare r, sunt egale cu zero.

Anterior, rangul unei matrice a fost definit ca cel mai mare număr de rânduri (coloane) vectoriale liniar independente. Într-un curs de algebră se dovedește că aceste două definiții sunt echivalente. Acest lucru face posibilă calcularea rangului matricei și, prin urmare, rangul sistemului de vectori.

Exemplu. Găsiți toate minorii de bază ale unei matrice

A= .

○ Orice minor al matricei de ordinul trei A este egal cu zero, deoarece conține un rând zero. Vom găsi minori de ordinul doi, alții decât zero.

, , , , .

Printre minorii de ordinul doi se numără și altele diferite de zero, ceea ce înseamnă că rangul matricei A este 2, iar minorii de bază sunt . ●

Teorema 3.7. Pentru ca determinantul de ordinul al n-lea să fie egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.

□ 1) Fie determinantul unei matrice pătrate A de ordin n egal cu zero. Atunci ordinea maximă a minorilor diferit de zero trebuie să fie mai mică de n; prin urmare, rangul matricei A este mai mic n. Aceasta înseamnă că sistemul tuturor rândurilor matricei este dependent liniar.

2) Dacă dreptele A 1, A 2,…, A m ale determinantului sunt liniar dependente,
apoi prin proprietatea de 6° dependență liniară o linie A i este o combinație liniară a rândurilor rămase ale determinantului, i.e.

Adăugând la linia A i Această combinație liniară, înmulțită cu (–1), va avea ca rezultat o linie constând în întregime din zerouri, iar pe baza proprietății de 7° a determinantului, valoarea determinantului nu se va modifica. Dar apoi, prin proprietatea 2°, determinantul este egal cu zero. ■

Exemplu. Demonstrați că vectorii A 1 =(2;–1;3), A 2 =(–1;1;0), A 3 =(1;1;6) sunt coplanari.

○ Trei vectori tridimensionali nenuli sunt coplanari dacă sunt dependenți liniar. Să compunem un determinant din coordonatele acestor vectori

Deoarece determinantul este zero, rândurile sale sunt dependente liniar, ceea ce înseamnă că vectorii sunt dependenți liniar A 1 =(2;–1;3), A 2 =(–1;1;0), A 3 =(1;1;6), prin urmare, ele sunt coplanare. ●

În acest subiect vom lua în considerare conceptele de complement algebric și minor. Prezentarea materialului se bazează pe termenii explicați la tema „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”. Vom avea nevoie și de câteva formule pentru calcularea determinanților. Deoarece acest subiect conține o mulțime de termeni legați de minori și complemente algebrice, voi adăuga un scurt rezumat pentru a facilita navigarea materialului.

$M_(ij)$ minor al elementului $a_(ij)$

$M_(ij)$ element$a_(ij)$ matrice $A_(n\times n)$ numesc determinantul matricei obținute din matricea $A$ prin ștergerea rândului i și a coloanei j (adică rândul și coloana de la intersecţia căreia se află elementul $a_(ij)$).

De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al patrulea: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 și 84 \\ 3 și 12 și -5 și 58 \end(array) \right)$. Să găsim minorul elementului $a_(32)$, adică. să găsim $M_(32)$. Mai întâi, să notăm minorul $M_(32)$ și apoi să calculăm valoarea acestuia. Pentru a compune $M_(32)$, ștergem al treilea rând și a doua coloană din matricea $A$ (la intersecția celui de-al treilea rând și a doua coloană se află elementul $a_(32)$ ). Vom obține o nouă matrice, al cărei determinant este minorul necesar $M_(32)$:

Acest minor este ușor de calculat folosind formula nr. 2 din subiectul de calcul:

$$ M_(32)=\stanga| \begin(array) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(array) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Deci, minorul elementului $a_(32)$ este 579, i.e. $M_(32)=579$.

Adesea, în locul expresiei „element de matrice minor” în literatură, se găsește „element determinant minor”. Esența rămâne aceeași: pentru a obține minorul elementului $a_(ij)$, trebuie să tăiați al-lea rând și j-a coloană din determinantul inițial. Elementele rămase sunt scrise într-un nou determinant, care este minorul elementului $a_(ij)$. De exemplu, să găsim minorul elementului $a_(12)$ al determinantului $\left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(array) \right|$. Pentru a scrie minorul necesar $M_(12)$ trebuie să ștergem primul rând și a doua coloană din determinantul dat:

Pentru a găsi valoarea acestui minor, folosim formula nr. 1 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

$$ M_(12)=\stânga| \begin(array) (ccc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(array) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Deci, minorul elementului $a_(12)$ este 83, i.e. $M_(12)=83$.

Complement algebric $A_(ij)$ al elementului $a_(ij)$

Fie dată o matrice pătrată $A_(n\times n)$ (adică o matrice pătrată de ordinul al n-lea).

Complement algebric$A_(ij)$ element$a_(ij)$ a matricei $A_(n\times n)$ se găsește prin următoarea formulă: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

unde $M_(ij)$ este minorul elementului $a_(ij)$.

Să găsim complementul algebric al elementului $a_(32)$ al matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$, i.e. să găsim $A_(32)$. Am găsit anterior minorul $M_(32)=579$, așa că folosim rezultatul obținut:

De obicei, atunci când se găsesc complemente algebrice, minorul nu este calculat separat și numai atunci complementul în sine. Nota minoră este omisă. De exemplu, să găsim $A_(12)$ dacă $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end (matrice) \dreapta)$. Conform formulei $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Totuși, pentru a obține $M_(12)$ este suficient să tăiați primul rând și a doua coloană a matricei $A$, așa că de ce să introduceți o notație suplimentară pentru minor? Să notăm imediat expresia pentru complementul algebric $A_(12)$:

Minor de ordinul k al matricei $A_(m\times n)$

Dacă în cele două paragrafe precedente am vorbit doar despre matrice pătrată, atunci aici vom vorbi și despre matrice dreptunghiulară, în care numărul de rânduri nu este neapărat egal cu numărul de coloane. Deci, să fie dată matricea $A_(m\times n)$, i.e. o matrice care conține m rânduri și n coloane.

Ordine K-a minoră matricea $A_(m\times n)$ este un determinant ale cărui elemente sunt situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane ale matricei $A$ (se presupune că $k≤ m$ și $k≤ n$).

De exemplu, luați în considerare matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right)$ și notează ce -sau minor de ordinul al treilea. Pentru a scrie un minor de ordinul al treilea, trebuie să selectăm oricare trei rânduri și trei coloane din această matrice. De exemplu, luați rândurile numerotate 2, 4, 6 și coloanele numerotate 1, 2, 4. La intersecția acestor rânduri și coloane vor fi localizate elementele minorului necesar. În figură, elementele minore sunt prezentate cu albastru:

Minorii de ordinul întâi se găsesc la intersecția unui rând și a unei coloane, adică minorii de ordinul întâi sunt egali cu elementele unei matrice date.

Minorul de ordin al k al matricei $A_(m\times n)=(a_(ij))$ se numește principal, dacă pe diagonala principală a unui minor dat există doar elementele diagonale principale ale matricei $A$.

Permiteți-mi să vă reamintesc că elementele diagonale principale sunt acele elemente ale matricei ai căror indici sunt egali: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ și așa mai departe. De exemplu, pentru matricea $A$ considerată mai sus, astfel de elemente vor fi $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= 8$. Ele sunt evidențiate cu roz în figură:

De exemplu, dacă în matricea $A$ tăiem rândurile și coloanele numerotate 1 și 3, atunci la intersecția lor vor exista elemente de ordinul al doilea minor, pe a căror diagonală principală vor fi doar elemente diagonale. ale matricei $A$ (elementele $a_(11) =-1$ și $a_(33)=18$ ale matricei $A$). Prin urmare, obținem un minor principal de ordinul doi:

Desigur, am putea lua și alte rânduri și coloane, de exemplu, cu numerele 2 și 4, obținând astfel un minor principal diferit de ordinul doi.

Fie unele minore $M$ de ordinul k al matricei $A_(m\times n)$ să nu fie egale cu zero, i.e. $M\neq 0$. În acest caz, toți minorii a căror ordine este mai mare decât k sunt egali cu zero. Apoi minorul $M$ este numit de bază, iar rândurile și coloanele pe care sunt situate elementele minorului de bază sunt numite corzi de bazăȘi coloane de bază.

De exemplu, luați în considerare matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$. Să scriem minorul acestei matrice, ale cărei elemente sunt situate la intersecția rândurilor numerotate 1, 2, 3 și coloanelor numerotate 1, 3, 4. Obținem un minor de ordinul trei:

Să găsim valoarea acestui minor folosind formula nr. 2 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

$$ M=\stânga| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|=4+3+6-2=11. $$

Deci, $M=11\neq 0$. Acum să încercăm să compunem orice minor a cărui ordine este mai mare de trei. Pentru a face un minor de ordinul al patrulea, trebuie să folosim al patrulea rând, dar toate elementele acestui rând sunt zero. Prin urmare, orice minor de ordinul al patrulea va avea un rând zero, ceea ce înseamnă că toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero. Nu putem crea minore de ordinul al cincilea sau mai mare, deoarece matricea $A$ are doar 4 rânduri.

Am găsit un minor de ordinul al treilea care nu este egal cu zero. În acest caz, toți minorii de ordine superioară sunt egali cu zero, prin urmare, minorul pe care l-am considerat este de bază. Rândurile matricei $A$ pe care se află elementele acestui minor (primul, al doilea și al treilea) sunt rândurile de bază, iar prima, a treia și a patra coloană a matricei $A$ sunt coloanele de bază.

Acest exemplu, desigur, este banal, deoarece scopul său este de a arăta în mod clar esența minorului de bază. În general, pot exista mai mulți minori de bază și, de obicei, procesul de căutare a unui astfel de minor este mult mai complex și mai amplu.

Să introducem un alt concept - limită minoră.

Fie un anumit ordin al k-lea minor $M$ al matricei $A_(m\times n)$ să fie situat la intersecția dintre k rânduri și k coloane. Să adăugăm un alt rând și coloană la setul acestor rânduri și coloane. Se numește minorul rezultat de ordinul (k+1). marginea minoră pentru minor $M$.

De exemplu, să ne uităm la matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end (matrice) \dreapta)$. Să scriem un minor de ordinul doi, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2 și nr. 5, precum și coloanele nr. 2 și nr. 4.

Să adăugăm un alt rând nr. 1 la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $M$, iar coloana nr. 5 la setul de coloane. Obținem un nou minor $M"$ (deja de ordinul trei), ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 5 și coloanele nr. 2, nr. 4, nr. 5. Elementele $M$ minore din figură sunt evidențiate cu roz, iar elementele pe care le adăugăm la $M$ minor sunt verzi:

Minorul $M"$ este minorul de margine pentru minorul $M$. În mod similar, adăugând rândul nr. 4 la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $M$ și coloana nr. 3 la setul de coloane, obținem minorul $M""$ (minor de ordinul trei):

Minorul $M""$ este, de asemenea, un minor învecinat pentru minorul $M$.

Minor de ordinul k al matricei $A_(n\times n)$. Minor suplimentar. Complement algebric la minorul unei matrice pătrate.

Să revenim din nou la matricele pătrate. Să introducem conceptul de minor suplimentar.

Fie dat un anumit $M$ minor de ordinul k al matricei $A_(n\n\n)$. Un determinant de ordinul (n-k)-lea, ale cărui elemente sunt obținute din matricea $A$ după ștergerea rândurilor și coloanelor care conțin minorul $M$, se numește minor, complementar minorului$M$.

De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al cincilea: $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right)$. Să selectăm rândurile nr. 1 și nr. 3, precum și coloanele nr. 2 și nr. 5. La intersecția acestor rânduri și coloane vor fi elemente de $M$ minor de ordinul doi:

Acum să scoatem din matrice $A$ rândurile nr. 1 și nr. 3 și coloanele nr. 2 și nr. 5, la intersecția cărora se află elemente ale $M$ minor (rândurile și coloanele eliminate sunt afișate în roșu în figura de mai jos). Elementele rămase formează minorul $M"$:

Minorul $M"$, a cărui ordine este $5-2=3$, este minorul complementar minorului $M$.

Complement algebric la un minor$M$ a unei matrice pătrate $A_(n\times n)$ se numește expresia $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, unde $\alpha$ este suma numerelor rândurilor și coloanelor a matricei $A$, pe care sunt situate elementele minorului $M$, iar $M"$ este complementarul minorului $M$.

Expresia „complement algebric la minorul $M$” este adesea înlocuită cu expresia „complement algebric la minorul $M$”.

De exemplu, luăm în considerare matricea $A$, pentru care am găsit minorul de ordinul doi $ M=\left| \begin(array) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ și minorul său suplimentar de ordinul al treilea: $M"=\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (matrice) \right|$ Să notăm complementul algebric al minorului $M$ ca $M^*$.

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Parametrul $\alpha$ este egal cu suma numerelor rândurilor și coloanelor pe care se află minorul $M$. Acest minor este situat la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 5. Prin urmare, $\alpha=1+3+2+5=11$. Asa de:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.

În principiu, folosind formula nr. 2 din tema calculului determinanților ordinului al doilea și al treilea, puteți finaliza calculele, obținând valoarea $M^*$:

$$ M^*=-\stânga| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|=-30. $$

Rangul unei matrice este o caracteristică numerică importantă. Cea mai tipică problemă care necesită găsirea rangului unei matrice este verificarea consistenței unui sistem de ecuații algebrice liniare. În acest articol vom oferi conceptul de rang de matrice și vom lua în considerare metodele pentru a-l găsi. Pentru a înțelege mai bine materialul, vom analiza în detaliu soluțiile la mai multe exemple.

Navigare în pagină.

Determinarea rangului unei matrice și concepte suplimentare necesare.

Înainte de a exprima definiția rangului unei matrice, ar trebui să aveți o bună înțelegere a conceptului de minor, iar găsirea minorilor unei matrice implică capacitatea de a calcula determinantul. Deci, dacă este necesar, vă recomandăm să amintim teoria articolului metode de găsire a determinantului unei matrice, proprietăți ale determinantului.

Să luăm o matrice A de ordin. Fie k un număr natural care nu depășește cel mai mic dintre numerele m și n, adică .

Definiție.

Ordine K-a minoră matricea A este determinantul unei matrice pătrate de ordine, compusă din elemente ale matricei A, care sunt situate în k rânduri și k coloane preselectate, iar dispunerea elementelor matricei A se păstrează.

Cu alte cuvinte, dacă în matricea A ștergem (p–k) rânduri și (n–k) coloane, iar din elementele rămase creăm o matrice, păstrând aranjarea elementelor matricei A, atunci determinantul de matricea rezultată este un minor de ordinul k al matricei A.

Să ne uităm la definiția unei matrice minore folosind un exemplu.

Luați în considerare matricea .

Să notăm câteva minore de ordinul întâi ale acestei matrice. De exemplu, dacă alegem al treilea rând și a doua coloană a matricei A, atunci alegerea noastră corespunde unui minor de ordinul întâi. . Cu alte cuvinte, pentru a obține acest minor, am tăiat primul și al doilea rând, precum și prima, a treia și a patra coloană din matricea A și am format un determinant din elementul rămas. Dacă alegem primul rând și a treia coloană a matricei A, atunci obținem un minor .

Să ilustrăm procedura de obținere a minorilor considerați de ordinul întâi
Și .

Astfel, minorii de ordinul întâi ale unei matrice sunt elementele matricei în sine.

Să arătăm câțiva minori de ordinul doi. Selectați două rânduri și două coloane. De exemplu, luați primul și al doilea rând și a treia și a patra coloană. Cu această alegere avem un minor de ordinul doi . Acest minor ar putea fi compus și prin ștergerea celui de-al treilea rând, prima și a doua coloană din matricea A.

Un alt minor de ordinul doi al matricei A este .

Să ilustrăm construcția acestor minori de ordinul doi
Și .

În mod similar, pot fi găsiți minori de ordinul trei ai matricei A. Deoarece există doar trei rânduri în matricea A, le selectăm pe toate. Dacă selectăm primele trei coloane ale acestor rânduri, obținem un minor de ordinul trei

De asemenea, poate fi construit prin tăierea ultimei coloane a matricei A.

Un alt minor de ordinul trei este

obţinut prin ştergerea celei de-a treia coloane a matricei A.

Iată o imagine care arată construcția acestor minori de ordinul trei
Și .

Pentru o matrice dată A nu există minore de ordin mai mari de treime, deoarece .

Câte minore de ordinul k sunt ale unei matrice A de ordin?

Numărul de minori de ordinul k poate fi calculat ca , unde Și - numărul de combinații de la p la k și respectiv de la n la k.

Cum putem construi toate minorele de ordin k ale matricei A de ordin p prin n?

Vom avea nevoie de multe numere de rând matrice și de multe numere de coloane. Scriem totul combinații de p elemente prin k(vor corespunde rândurilor selectate ale matricei A când se construiește un minor de ordinul k). La fiecare combinație de numere de rând adăugăm succesiv toate combinațiile de n elemente ale k numere de coloană. Aceste seturi de combinații de numere de rând și numere de coloane ale matricei A vor ajuta la alcătuirea tuturor minorilor de ordinul k.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Găsiți toate minorii de ordinul doi ale matricei.

Soluţie.

Deoarece ordinea matricei originale este 3 cu 3, atunci totalul minorilor de ordinul doi va fi .

Să notăm toate combinațiile de 3 până la 2 numere de rând ale matricei A: 1, 2; 1, 3 și 2, 3. Toate combinațiile de 3 până la 2 numere de coloane sunt 1, 2; 1, 3 și 2, 3.

Să luăm primul și al doilea rând al matricei A. Selectând prima și a doua coloană, prima și a treia coloană, a doua și a treia coloană pentru aceste rânduri, obținem minorele, respectiv

Pentru primul și al treilea rând, cu o alegere similară de coloane, avem

Rămâne să adăugați prima și a doua, prima și a treia, a doua și a treia coloană la al doilea și al treilea rând:

Deci, toți cei nouă minori de ordinul doi din matricea A au fost găsiți.

Acum putem trece la determinarea rangului matricei.

Definiție.

Rangul matricei este ordinul cel mai înalt al minorului diferit de zero al matricei.

Rangul matricei A este notat cu Rank(A) . De asemenea, puteți găsi denumirile Rg(A) sau Rang(A) .

Din definițiile rangului matricei și ale matricei minore, putem concluziona că rangul unei matrice zero este egal cu zero, iar rangul unei matrice nenule nu este mai mic de unu.

Găsirea rangului unei matrice prin definiție.

Deci, prima metodă pentru găsirea rangului unei matrice este metoda de enumerare a minorilor. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A de ordin.

Să descriem pe scurt algoritm rezolvarea acestei probleme prin enumerarea minorilor.

Dacă există cel puțin un element al matricei care este diferit de zero, atunci rangul matricei este cel puțin egal cu unu (deoarece există un minor de ordinul întâi care nu este egal cu zero).

În continuare, ne uităm la minorii de ordinul doi. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor diferit de zero de ordinul doi, atunci trecem la enumerarea minorilor de ordinul al treilea, iar rangul matricei este cel puțin egal cu doi.

În mod similar, dacă toți minorii de ordinul trei sunt zero, atunci rangul matricei este doi. Dacă există cel puțin un minor de ordinul al treilea, altul decât zero, atunci rangul matricei este de cel puțin trei și trecem la enumerarea minorilor de ordinul al patrulea.

Rețineți că rangul matricei nu poate depăși cel mai mic dintre numerele p și n.

Exemplu.

Aflați rangul matricei .

Soluţie.

Deoarece matricea este diferită de zero, rangul său nu este mai mic de unu.

Minor de ordinul doi este diferit de zero, prin urmare, rangul matricei A este de cel puțin doi. Trecem la enumerarea minorilor de ordinul trei. Total dintre ele lucruri.

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Prin urmare, rangul matricei este doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor.

Există și alte metode de găsire a rangului unei matrice care vă permit să obțineți rezultatul cu mai puțină muncă de calcul.

O astfel de metodă este metoda marginii minore.

Să ne ocupăm de conceptul de margine minoră.

Se spune că un M ok minor de ordinul (k+1) al matricei A mărginește un M minor de ordinul k al matricei A dacă matricea corespunzătoare minorului M ok „conține” matricea corespunzătoare minorului. M .

Cu alte cuvinte, matricea corespunzătoare minorului marginal M se obține din matricea corespunzătoare minorului marginal M ok prin ștergerea elementelor unui rând și unei coloane.

De exemplu, luați în considerare matricea și ia un minor de ordinul al doilea. Să notăm toți minorii de la graniță:

Metoda limitării minorilor este justificată de următoarea teoremă (prezentăm formularea ei fără dovezi).

Teorema.

Dacă toate minorele care mărginesc minorul de ordin k al unei matrice A de ordin p cu n sunt egale cu zero, atunci toate minorele de ordin (k+1) ale matricei A sunt egale cu zero.

Astfel, pentru a găsi rangul unei matrice nu este necesar să parcurgeți toți minorii suficient de învecinați. Numărul de minore care mărginesc minorul de ordinul k al unei matrice A de ordin , se află prin formula . Rețineți că nu există mai multe minore care mărginesc minorul de ordin k al matricei A decât există (k + 1) minore ale matricei A. Prin urmare, în majoritatea cazurilor, utilizarea metodei limitării minorilor este mai profitabilă decât simpla enumerare a tuturor minorilor.

Să trecem la găsirea rangului matricei folosind metoda limitării minorilor. Să descriem pe scurt algoritm aceasta metoda.

Dacă matricea A este diferită de zero, atunci ca minor de ordinul întâi luăm orice element al matricei A care este diferit de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu unu. Dacă există cel puțin un minor învecinat diferit de zero (ordinea acestuia este de doi), atunci trecem să luăm în considerare minorii săi învecinați. Dacă toate sunt zero, atunci Rank(A) = 2. Dacă cel puțin un minor învecinat este diferit de zero (ordinea sa este de trei), atunci luăm în considerare minorii săi învecinați. Și așa mai departe. Ca rezultat, Rank(A) = k dacă toți minorii marginali de ordinul (k + 1) al matricei A sunt egali cu zero, sau Rank(A) = min(p, n) dacă există un non- zero minor mărginind un minor de ordin (min( p, n) – 1) .

Să ne uităm la metoda de margine a minorilor pentru a găsi rangul unei matrice folosind un exemplu.

Exemplu.

Aflați rangul matricei prin metoda limitării minorilor.

Soluţie.

Deoarece elementul a 1 1 al matricei A este diferit de zero, îl considerăm minor de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor învecinat care este diferit de zero:

Se găsește o muchie minoră de ordinul doi, diferită de zero. Să ne uităm la minorii săi învecinați (lor lucruri):

Toți minorii care se învecinează cu minorul de ordinul doi sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei A este egal cu doi.

Răspuns:

Rang(A) = 2 .

Exemplu.

Aflați rangul matricei folosind minori învecinați.

Soluţie.

Ca minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 1 al matricei A. Minorul din jur de ordinul doi nu este egal cu zero. Acest minor este mărginit de un minor de ordinul trei
. Deoarece nu este egal cu zero și nu există un singur minor de margine pentru acesta, rangul matricei A este egal cu trei.

Răspuns:

Rang(A) = 3 .

Găsirea rangului folosind transformări matriceale elementare (metoda Gauss).

Să luăm în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice.

Următoarele transformări matriceale sunt numite elementare:

rearanjarea rândurilor (sau coloanelor) unei matrice;
înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, diferit de zero;
adunând la elementele unui rând (coloană) elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un număr arbitrar k.

Matricea B se numește echivalentă cu matricea A, dacă B se obține din A folosind un număr finit de transformări elementare. Echivalența matricelor este notată prin simbolul „~”, adică scris A ~ B.

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare de matrice se bazează pe afirmația: dacă matricea B este obținută din matricea A folosind un număr finit de transformări elementare, atunci Rank(A) = Rank(B) .

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din proprietățile determinantului matricei:

Când rearanjați rândurile (sau coloanele) unei matrice, determinantul acesteia își schimbă semnul. Dacă este egal cu zero, atunci când rândurile (coloanele) sunt rearanjate, rămâne egal cu zero.
Când înmulțiți toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice cu un număr arbitrar k, altul decât zero, determinantul matricei rezultate este egal cu determinantul matricei originale înmulțit cu k. Dacă determinantul matricei inițiale este egal cu zero, atunci după înmulțirea tuturor elementelor oricărei rânduri sau coloane cu numărul k, determinantul matricei rezultate va fi, de asemenea, egal cu zero.
Adăugarea elementelor unui anumit rând (coloană) a unei matrice a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) a matricei, înmulțite cu un anumit număr k, nu modifică determinantul acestuia.

Esența metodei transformărilor elementare constă în reducerea matricei al cărei rang trebuie să-l găsim la una trapezoidală (într-un caz particular, la una triunghiulară superioară) folosind transformări elementare.

De ce se face asta? Rangul matricelor de acest tip este foarte ușor de găsit. Este egal cu numărul de linii care conțin cel puțin un element diferit de zero. Și, deoarece rangul matricei nu se schimbă atunci când se efectuează transformări elementare, valoarea rezultată va fi rangul matricei originale.

Oferim ilustrații ale matricelor, dintre care una ar trebui obținută după transformări. Aspectul lor depinde de ordinea matricei.

Aceste ilustrații sunt șabloane în care vom transforma matricea A.

Să descriem algoritmul metodei.

Trebuie să găsim rangul unei matrice A non-nule de ordin (p poate fi egal cu n).

Asa de, . Să înmulțim toate elementele primului rând al matricei A cu . În acest caz, obținem o matrice echivalentă, notând-o A (1):

La elementele celui de-al doilea rând din matricea rezultată A (1) adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . La elementele din a treia linie adăugăm elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu . Și așa mai departe până la linia p-a. Să obținem o matrice echivalentă, notăm-o A (2):

Dacă toate elementele matricei rezultate situate în rânduri de la a doua la p-a sunt egale cu zero, atunci rangul acestei matrice este egal cu unu și, în consecință, rangul matricei originale este egal catre unul.

Dacă în liniile de la a doua la p-a există cel puțin un element diferit de zero, atunci continuăm să efectuăm transformări. Mai mult, acționăm în absolut același mod, dar numai cu partea din matricea A (2) marcată în figură.