Ceea ce se numește o funcție a unei variabile complexe. Teoria funcțiilor unei variabile complexe

Funcțiile unei variabile complexe.
Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Acest articol deschide o serie de lecții în care voi lua în considerare probleme tipice legate de teoria funcțiilor unei variabile complexe. Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre numerele complexe. Pentru a consolida și repeta materialul, trebuie doar să vizitați pagina. Veți avea nevoie și de abilitățile pentru a găsi derivate parțiale de ordinul doi. Iată-le, aceste derivate parțiale... chiar și acum am fost puțin surprins de cât de des apar...

Subiectul pe care începem să îl examinăm nu prezintă dificultăți deosebite, iar în funcțiile unei variabile complexe, în principiu, totul este clar și accesibil. Principalul lucru este să adere la regula de bază, pe care am derivat-o experimental. Citește mai departe!

Conceptul de funcție a unei variabile complexe

Mai întâi, să ne reîmprospătăm cunoștințele despre funcția școlară a unei variabile:

Funcție cu o singură variabilă este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente (din domeniul definiției) îi corespunde una și doar o singură valoare a funcției. Desigur, „x” și „y” sunt numere reale.

În cazul complex, dependența funcțională este specificată în mod similar:

Funcția cu o singură valoare a unei variabile complexe- aceasta este regula conform căreia toată lumea cuprinzătoare valoarea variabilei independente (din domeniul definiţiei) corespunde uneia şi numai una cuprinzătoare valoarea functiei. Teoria ia în considerare și funcții multi-valorice și alte tipuri de funcții, dar pentru simplitate mă voi concentra pe o singură definiție.

Care este diferența dintre o funcție variabilă complexă?

Principala diferență: numere complexe. Nu sunt ironic. Astfel de întrebări îi lasă adesea pe oameni în stupoare; la sfârșitul articolului, vă voi spune o poveste amuzantă. La lectie Numere complexe pentru manechine am considerat un număr complex sub forma . De acum litera „z” a devenit variabil, atunci o vom nota astfel: , în timp ce „x” și „y” pot lua diferite valabil sensuri. În linii mari, funcția unei variabile complexe depinde de variabilele și , care iau valori „obișnuite”. Următorul punct decurge logic din acest fapt:

Funcția unei variabile complexe poate fi scrisă astfel:
, unde și sunt două funcții ale lui doi valabil variabile.

Funcția este numită parte reală funcții
Funcția este numită parte imaginară funcții

Adică, funcția unei variabile complexe depinde de două funcții reale și . Pentru a clarifica totul, să ne uităm la exemple practice:

Exemplul 1

Soluţie: Variabila independentă „zet”, după cum vă amintiți, este scrisă sub forma , prin urmare:

(1) Am înlocuit .

(2) Pentru primul termen s-a folosit formula de înmulțire prescurtată. În termen, parantezele au fost deschise.

(3) Pătrat cu grijă, fără a uita că

(4) Rearanjarea termenilor: mai întâi rescriem termenii , în care nu există o unitate imaginară(primul grup), apoi termenii unde există (al doilea grup). Trebuie remarcat faptul că amestecarea termenilor nu este necesară, iar acest pas poate fi omis (făcând-o efectiv pe cale orală).

(5) Pentru al doilea grup îl scoatem din paranteze.

Ca urmare, funcția noastră s-a dovedit a fi reprezentată în formă

Răspuns:
– parte reală a funcției.
– parte imaginară a funcției.

Ce fel de funcții s-au dovedit a fi acestea? Cele mai obișnuite funcții ale două variabile din care puteți găsi atât de populare derivate parțiale. Fără milă, o vom găsi. Dar puțin mai târziu.

Pe scurt, algoritmul pentru problema rezolvată poate fi scris după cum urmează: înlocuim , în funcția originală, efectuăm simplificări și împărțim toți termenii în două grupuri - fără o unitate imaginară (partea reală) și cu o unitate imaginară (partea imaginară) .

Exemplul 2

Găsiți partea reală și imaginară a funcției

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Înainte să vă grăbiți în luptă pe planul complex cu piesele trase, permiteți-mi să vă dau cele mai importante sfaturi pe această temă:

ATENȚIE! Trebuie să fii atent, desigur, peste tot, dar în numere complexe ar trebui să fii mai atent ca niciodată! Amintiți-vă că, deschideți cu atenție parantezele, nu pierdeți nimic. Conform observațiilor mele, cea mai frecventă greșeală este pierderea unui semn. Nu te grabi!

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Acum cubul. Folosind formula de înmulțire prescurtată, obținem:
.

Formulele sunt foarte convenabile de utilizat în practică, deoarece accelerează semnificativ procesul de soluție.

Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Am două vești: bune și rele. Voi începe cu cel bun. Pentru o funcție a unei variabile complexe sunt valabile regulile de diferențiere și tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Astfel, derivata este luată exact în același mod ca și în cazul unei funcții a unei variabile reale.

Vestea proastă este că pentru multe funcții variabile complexe nu există nicio derivată și trebuie să vă dați seama este diferentiabil? o funcție sau alta. Și „a-ți da seama” cum se simte inima ta este asociată cu probleme suplimentare.

Să luăm în considerare funcția unei variabile complexe. Pentru ca această funcție să fie diferențiabilă este necesar și suficient:

1) Astfel încât să existe derivate parțiale de ordinul întâi. Uitați imediat de aceste notații, deoarece în teoria funcțiilor unei variabile complexe se folosește în mod tradițional o notație diferită: .

2) Pentru a efectua așa-numitul Condiții Cauchy-Riemann:

Numai în acest caz derivatul va exista!

Exemplul 3

Soluţie este împărțit în trei etape succesive:

1) Să găsim părțile reale și imaginare ale funcției. Această sarcină a fost discutată în exemplele anterioare, așa că o voi scrie fără comentarii:

De atunci:

Prin urmare:

– parte imaginară a funcției.

Permiteți-mi să abordez încă un punct tehnic: în ce ordine scrieți termenii în părțile reale și imaginare? Da, în principiu, nu contează. De exemplu, partea reală poate fi scrisă astfel: , iar cea imaginară – așa: .

2) Să verificăm îndeplinirea condiţiilor Cauchy-Riemann. Sunt doi dintre ei.

Să începem prin a verifica starea. Găsim derivate parțiale:

Astfel, condiția este îndeplinită.

Desigur, vestea bună este că derivatele parțiale sunt aproape întotdeauna foarte simple.

Verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții:

Rezultatul este același, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare funcția este diferențiabilă.

3) Să găsim derivata funcției. Derivatul este, de asemenea, foarte simplu și se găsește conform regulilor obișnuite:

Unitatea imaginară este considerată o constantă în timpul diferențierii.

Răspuns: – parte reală, – partea imaginară.
Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, .

Mai există două moduri de a găsi derivatul, ele sunt, desigur, folosite mai rar, dar informațiile vor fi utile pentru înțelegerea celei de-a doua lecție - Cum să găsiți o funcție a unei variabile complexe?

Derivatul poate fi găsit folosind formula:

În acest caz:

Prin urmare

Trebuie să rezolvăm problema inversă - în expresia rezultată trebuie să izolăm . Pentru a face acest lucru, este necesar în termenii și în afara parantezei:

Acțiunea inversă, după cum mulți au observat, este ceva mai dificil de efectuat; pentru a verifica, este întotdeauna mai bine să luați expresia pe o ciornă sau să deschideți oral parantezele înapoi, asigurându-vă că rezultatul este exact.

Formula oglindă pentru găsirea derivatei:

În acest caz: , De aceea:

Exemplul 4

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, găsiți derivata funcției.

O scurtă soluție și o mostră aproximativă a proiectului final la sfârșitul lecției.

Sunt întotdeauna îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann? Teoretic, ele nu sunt îndeplinite mai des decât sunt îndeplinite. Dar în exemple practice, nu îmi amintesc un caz în care nu au fost îndeplinite =) Astfel, dacă derivatele tale parțiale „nu converg”, atunci cu o probabilitate foarte mare poți spune că ai greșit undeva.

Să ne complicăm funcțiile:

Exemplul 5

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. calculati

Soluţie: Algoritmul de soluție este complet păstrat, dar la final se va adăuga un nou punct: găsirea derivatei într-un punct. Pentru cub, formula necesară a fost deja derivată:

Să definim părțile reale și imaginare ale acestei funcții:

Atenție și atenție din nou!

De atunci:


Prin urmare:
– parte reală a funcției;
– parte imaginară a funcției.

Verificarea a doua condiție:

Rezultatul este același, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare funcția este diferențiabilă:

Să calculăm valoarea derivatei în punctul necesar:

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann,

Funcțiile cu cuburi sunt comune, așa că iată un exemplu de consolidat:

Exemplul 6

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Calculati.

Soluție și exemplu de finalizare la sfârșitul lecției.

În teoria analizei complexe sunt definite și alte funcții ale unui argument complex: exponent, sinus, cosinus etc. Aceste funcții au proprietăți neobișnuite și chiar bizare - și acest lucru este cu adevărat interesant! Chiar vreau să vă spun, dar aici, așa cum se întâmplă, nu este o carte de referință sau un manual, ci o carte de soluții, așa că voi lua în considerare aceeași problemă cu unele funcții comune.

În primul rând despre așa-numitul formulele lui Euler:

Pentru oricine valabil numere, sunt valabile următoarele formule:

De asemenea, îl puteți copia în caiet ca material de referință.

Strict vorbind, există o singură formulă, dar de obicei, pentru comoditate, scriu și un caz special cu un minus în exponent. Parametrul nu trebuie să fie o singură literă; poate fi o expresie sau o funcție complexă, este important doar ca aceștia să accepte numai valabil sensuri. De fapt, vom vedea asta chiar acum:

Exemplul 7

Găsiți derivata.

Soluţie: Linia generală a partidului rămâne de neclintit - este necesar să se distingă părțile reale și imaginare ale funcției. Voi oferi o soluție detaliată și voi comenta fiecare pas de mai jos:

De atunci:

(1) Înlocuiți „z” în schimb.

(2) După înlocuire, trebuie să selectați părțile reale și imaginare primul în indicator expozanti. Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele.

(3) Grupăm partea imaginară a indicatorului, plasând unitatea imaginară din paranteze.

(4) Folosim acțiunea școlară cu grade.

(5) Pentru multiplicator folosim formula lui Euler și .

(6) Deschideți parantezele, rezultând:

– parte reală a funcției;
– parte imaginară a funcției.

Acțiunile ulterioare sunt standard; să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Exemplul 9

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Așa fie, nu vom găsi derivatul.

Soluţie: Algoritmul de soluție este foarte asemănător cu cele două exemple anterioare, dar există puncte foarte importante, așa că voi comenta din nou etapa inițială pas cu pas:

De atunci:

1) Înlocuiți „z” în schimb.

(2) În primul rând, selectăm părțile reale și imaginare în interiorul sinusului. În aceste scopuri, deschidem parantezele.

(3) Folosim formula și .

(4) Utilizare paritatea cosinusului hiperbolic: Și ciudățenie de sinus hiperbolic: . Hiperbolicele, deși sunt în afara acestei lumi, amintesc în multe privințe de funcții trigonometrice similare.

În cele din urmă:
– parte reală a funcției;
– parte imaginară a funcției.

Atenţie! Semnul minus se referă la partea imaginară și în niciun caz nu trebuie să-l pierdem! Pentru o ilustrare clară, rezultatul obținut mai sus poate fi rescris după cum urmează:

Să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite.

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann.

Doamnelor și domnilor, să ne dăm seama singuri:

Exemplul 10

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Am ales în mod deliberat exemple mai dificile, pentru că toată lumea pare să poată face față cu ceva, cum ar fi arahidele decojite. În același timp, îți vei antrena atenția! Spărgător de nuci la sfârșitul lecției.

Ei bine, în concluzie, voi privi un alt exemplu interesant când un argument complex este la numitor. S-a întâmplat de câteva ori în practică, să ne uităm la ceva simplu. Eh, îmbătrânesc...

Exemplul 11

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Soluţie: Din nou, este necesar să se distingă părțile reale și imaginare ale funcției.
Daca atunci

Apare întrebarea, ce să faci când „Z” este la numitor?

Totul este simplu - cel standard va ajuta metodă de înmulțire a numărătorului și numitorului cu expresia conjugată, a fost deja folosit în exemplele lecției Numere complexe pentru manechine. Să ne amintim formula școlii. Avem deja în numitor, ceea ce înseamnă că expresia conjugată va fi . Astfel, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu:

Unde
sunt numere reale și - un personaj special numit unitate imaginară . Pentru o unitate imaginară, prin definiție se presupune că
.

(4.1) – forma algebrică număr complex și
numit parte reală număr complex și
-parte imaginară .

Număr
numit conjugare complexa la număr
.

Să fie date două numere complexe
,
.

1. Cantitate
numere complexe Și se numește număr complex

2. Prin diferenta
numere complexe Și se numește număr complex

3. Munca
numere complexe Și se numește număr complex

4. Privat din împărțirea unui număr complex la un număr complex
se numește număr complex

.

Observație 4.1. Adică, operațiile pe numere complexe sunt introduse după regulile uzuale ale operațiilor aritmetice pe expresii literale din algebră.

Exemplul 4.1. Sunt date numere complexe. Găsi

.

Soluţie. 1) .

4) Înmulțind numărătorul și numitorul cu conjugatul complex al numitorului, obținem

Forma trigonometrică număr complex:

Unde
- modulul unui număr complex,
este argumentul unui număr complex. Colţ nu este definit în mod unic, până la un termen
:

,
.

- valoarea principală a argumentului, determinată de condiție

, (sau
).

Forma demonstrativă număr complex:

.

Rădăcină
puterea a numărului Are valori diferite, care se găsesc prin formulă

,

Unde
.

Puncte corespunzătoare valorilor
, sunt vârfurile corectului
un pătrat înscris într-un cerc de rază
cu centrul la origine.

Exemplul 4.2. Găsiți toate valorile rădăcinilor
.

Soluţie. Să ne imaginăm un număr complex
în formă trigonometrică:

,

, Unde
.

Apoi
. Prin urmare, conform formulei (4.2)
are patru sensuri:

,
.

crezând
, găsim

,
,

, .

Aici am convertit valorile argumentului în valoarea sa principală.

Se instalează pe planul complex

Număr complex
înfățișat într-un avion
punct
cu coordonate
. Modul
și argument
corespund coordonatele polare ale punctului
.

Este util să ne amintim că inegalitatea
definește un cerc cu centrul într-un punct rază . Inegalitate
definește un semiplan situat la dreapta dreptei
, și inegalitatea
- semiplan situat deasupra dreptei
. În plus, sistemul de inegalități
stabilește unghiul dintre raze
Și
emanând de la origine.

Exemplul 4.3. Desenați aria definită de inegalități:
.

Soluţie. Prima inegalitate corespunde unui inel cu centrul în punct
și două raze 1 și 2, cercurile nu sunt incluse în zonă (Fig. 4.1).

A doua inegalitate corespunde unghiului dintre raze
(bisectoarea celui de-al 4-lea unghi de coordonate) și
(direcția axei pozitive
). Razele în sine nu intră în regiune (Fig. 4.2).

Zona dorită este intersecția celor două zone obținute (Fig. 4.3)

4.2. Funcțiile unei variabile complexe

Fie funcția cu o singură valoare
definite şi continue în regiune
, A - curbă orientată în bucăți, netedă, închisă sau neînchisă
. Să, ca de obicei,
,, Unde
,
- funcţiile reale ale variabilelor Și .

Calculul integralei unei funcții
variabilă complexă se reduce la calcularea integralelor curbilinii uzuale și anume

.

Dacă funcţia
analitic într-un domeniu simplu conectat
, conținând puncte Și , atunci formula Newton-Leibniz este valabilă:

,

Unde
- unele antiderivate pentru functie
, acesta este
în zonă
.

În integralele de funcții ale unei variabile complexe, se poate face o schimbare de variabilă, iar integrarea pe părți este similară cu modul în care se face atunci când se calculează integralele funcțiilor unei variabile reale.

De asemenea, rețineți că dacă calea de integrare face parte dintr-o linie care emană dintr-un punct , sau o parte a unui cerc centrată într-un punct , atunci este util să se facă o înlocuire variabilă a formularului
. In primul caz
, A - variabila de integrare reala; în al doilea caz
, A - variabilă de integrare reală.

Exemplul 4.4. calculati
prin parabolă
din punct
până la punctul
(Figura 4.4).

Soluţie. Să rescriem integrandul în formă Apoi , . Să aplicăm formula (4.3): Deoarece , Acea , . De aceea

Exemplul 4.5. Calculați integrala
, Unde - arc de cerc
,
(Fig. 4.5) .

Soluţie. Sa spunem , Apoi , , . Primim:

Funcţie
, cu valoare unică și analitică în ring
, se descompune în acest inel în Seria Laurent

În formula (4.5) seria
numit parte principală Serialul lui Laurent și seria
numit partea dreaptă Seria Laurent.

Definiție 4.1. Punct numitpunct singular izolat funcții
, dacă există o vecinătate a acestui punct în care funcția
analitic peste tot, cu excepția punctului în sine .

Funcţie
în vecinătatea unui punct poate fi extins într-o serie Laurent. În acest caz, sunt posibile trei cazuri diferite când seria Laurent:

1) nu conține termeni cu puteri negative de diferență
, acesta este

(Seria lui Laurent nu conține partea principală). În acest caz numit punct singular detașabil funcții
;

2) conține un număr finit de termeni cu puteri negative de diferență
, acesta este

,

și
. În acest caz, ideea numit pol de ordine funcții
;

3) conține un număr infinit de termeni cu puteri negative:

.

În acest caz, ideea numit în esență un punct special funcții
.

Când se determină caracterul unui punct singular izolat, nu este necesar să se caute o extindere a seriei Laurent. Puteți utiliza diverse proprietăți ale punctelor singulare izolate.

1) este un punct singular detașabil al funcției
, dacă există o limită finită a funcției
la punct :

.

2) este un pol al funcției
, Dacă

.

3) este un punct esențial singular al funcției
, eu gras
o funcție nu are limită, nici finită, nici infinită.

Definiție 4.2. Punct numitzero
prima comanda (sau multiplicitatea ) funcții
, dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

…,

.

Observație 4.2. Punct dacă și numai dacă este zero
prima comanda funcții
, când într-o vecinătate a acestui punct egalitatea este valabilă

,

unde este functia
analitic la un punct Și

4) punctul este polul ordinii (
) funcții
, dacă acest punct este de ordinul zero pentru functie
.

5) lasa - punct singular izolat al unei funcții
, Unde
- funcţii analitice la un punct . Și lăsați punctul este de ordinul zero funcții
și ordinul zero funcții
.

La
punct este polul ordinii
funcții
.

La
punct este un punct singular detașabil al funcției
.

Exemplul 4.6. Găsiți puncte izolate și determinați tipul lor pentru o funcție
.

Soluţie. Funcții
Și
- analitic în întreg planul complex. Aceasta înseamnă că punctele singulare ale funcției
sunt zerourile numitorului, adică punctele în care
. Există o infinitate de astfel de puncte. În primul rând, acesta este ideea
, precum și punctele care satisfac ecuația
. De aici
Și
.

Luați în considerare ideea
. În acest moment obținem:

,
,

,
.

Ordinul zero este
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Deci, punct
este un pol de ordinul doi (
).

. Apoi

,
.

Ordinea numărătorului zero este
.

,
,
.

Ordinul zero al numitorului este
. Prin urmare, punctele
la
sunt poli de ordinul întâi ( stâlpi simpli ).

Teorema 4.1. (Teorema lui Cauchy asupra reziduurilor ). Dacă funcţia
este analitic la graniță regiune
și peste tot în interiorul regiunii, cu excepția unui număr finit de puncte singulare
, Acea

.

La calcularea integralelor, merită să găsiți cu atenție toate punctele singulare ale funcției
, apoi desenați conturul și punctele singulare, iar după aceea selectați numai acele puncte care se încadrează în conturul de integrare. A face alegerea corectă fără o imagine este adesea dificil.

Metoda de calcul a deducerii
depinde de tipul punctului singular. Prin urmare, înainte de a calcula reziduul, trebuie să determinați tipul punctului singular.

1) restul unei funcții într-un punct egal cu coeficientul pentru minus gradul I în expansiunea Laurent
în vecinătatea unui punct :

.

Această afirmație este adevărată pentru toate tipurile de puncte izolate și, prin urmare, în acest caz nu este necesar să se determine tipul unui punct singular.

2) reziduul la un punct singular amovibil este egal cu zero.

3) dacă este un pol simplu (pol de ordinul întâi), iar funcția
poate fi reprezentat sub formă
, Unde
,
(rețineți că în acest caz
), atunci reziduul este la punct egală

.

În special, dacă
, Acea
.

4) dacă - stâlp simplu, atunci

5) dacă - pol
funcția de ordine
, Acea

Exemplul 4.7. Calculați integrala
.

Soluţie. Găsirea punctelor singulare ale integrandului . Funcţie are două puncte singulare Și Doar un punct cade în interiorul conturului (Fig. 4.6). Punct - stâlp de ordinul doi, din moment ce este un zero al multiplu 2 pentru funcție .

Apoi, folosind formula (4.7), găsim reziduul în acest punct:

Prin teorema 4.1 găsim

Agenția Federală pentru Educație

___________________________________

Statul Sankt Petersburg

Universitatea Electrotehnică „LETI”

_______________________________________

Teoria funcțiilor unei variabile complexe

Instrucțiuni

la orele practice

la matematica superioară

Saint Petersburg

Editura SPbSETU „LETI”

UDC 512.64(07)

TFKP: Instrucțiuni metodologice pentru rezolvarea problemelor / întocmit de: V.G.Dyumin, A.M.Kotochigov, N.N.Sosnovsky.SPb.: Editura Universității Electrotehnice de Stat din Sankt Petersburg „LETI”, 2010. 32 p.

Aprobat

Consiliul editorial și editorial al Universității

ca linii directoare

© SPbSETU „LETI”, 2010

Funcțiile unei variabile complexe, în cazul general, diferă de mapările planului real
în sine numai prin forma de înregistrare. Un obiect important și extrem de util este clasa de funcții a unei variabile complexe,

având aceeași derivată ca și funcții ale unei variabile. Se știe că funcțiile mai multor variabile pot avea derivate parțiale și derivate direcționale, dar, de regulă, derivatele în direcții diferite nu coincid și nu se poate vorbi despre derivată la un punct. Totuși, pentru funcțiile unei variabile complexe este posibil să se descrie condițiile în care acestea permit diferențierea. Studiul proprietăților funcțiilor diferențiabile ale unei variabile complexe este conținutul instrucțiunilor metodologice. Instrucțiunile au ca scop demonstrarea modului în care proprietățile unor astfel de funcții pot fi utilizate pentru a rezolva o varietate de probleme. Stăpânirea cu succes a materialului prezentat este imposibilă fără abilități de bază în calcule cu numere complexe și familiarizarea cu cele mai simple obiecte geometrice, definite în termeni de inegalități care leagă părțile reale și imaginare ale unui număr complex, precum și modulul și argumentul acestuia. Un rezumat al tuturor informațiilor necesare pentru aceasta poate fi găsit în ghid.

Aparatul standard de analiză matematică: limite, derivate, integrale, serie este utilizat pe scară largă în textul ghidurilor. Acolo unde aceste concepte au specificul lor, în comparație cu funcțiile unei variabile, se dau explicații adecvate, dar în majoritatea cazurilor este suficient să se separe părțile reale și cele imaginare și să le aplici aparatul standard de analiză reală.

1. Funcții elementare ale unei variabile complexe

Este firesc să începem o discuție despre condițiile de diferențiere a funcțiilor unei variabile complexe prin aflarea care funcții elementare au această proprietate. Din relația evidentă

Rezultă că orice polinom este derivabil. Și, deoarece o serie de puteri poate fi diferențiată termen cu termen în cadrul cercului său de convergență,

atunci orice funcție este diferențiabilă în puncte în vecinătatea cărora poate fi extinsă într-o serie Taylor. Aceasta este o condiție suficientă, dar, după cum va deveni în curând clar, este și necesară. Este convenabil să se sprijine studiul funcțiilor unei variabile în raport cu derivata lor prin monitorizarea comportamentului graficului funcției. Acest lucru nu este posibil pentru funcțiile unei variabile complexe. Punctele graficului se află într-un spațiu de dimensiunea 4, .

Cu toate acestea, o oarecare reprezentare grafică a funcției poate fi obținută luând în considerare imaginile unor mulțimi destul de simple în planul complex
, apărute sub influența unei funcții date. De exemplu, să luăm în considerare câteva funcții simple din acest punct de vedere.

Funcție liniară

Această funcție simplă este foarte importantă, deoarece orice funcție diferențiabilă este similară local cu una liniară. Să luăm în considerare acțiunea funcției în detaliu maxim

Aici
-- modulul unui număr complex Și -- argumentul lui. Astfel, funcția liniară realizează întinderea, rotația și translația. Prin urmare, o mapare liniară duce orice mulțime la o mulțime similară. În special, sub influența unei mapări liniare, liniile drepte se transformă în linii drepte, iar cercurile în cercuri.

Funcţie

Această funcție este următoarea cea mai complexă după liniară. Este greu de așteptat că va transforma orice linie într-o linie dreaptă și un cerc într-un cerc; exemplele simple arată că acest lucru nu se întâmplă, totuși, se poate demonstra că această funcție transformă mulțimea tuturor liniilor și cercurilor în în sine. Pentru a verifica acest lucru, este convenabil să mergeți la descrierea reală (coordonată) a mapării

Dovada necesită o descriere a mapării inverse

Luați în considerare ecuația dacă
, atunci obținem ecuația generală a dreptei. Dacă
, Acea

Prin urmare, când
se obţine ecuaţia unui cerc arbitrar.

Rețineți că dacă
Și
, apoi cercul trece prin origine. Dacă
Și
, apoi obțineți o linie dreaptă care trece prin origine.

Sub acțiunea inversării, ecuația luată în considerare va fi rescrisă sub formă

, (
)

sau . Se poate observa că aceasta este și o ecuație care descrie fie cercuri, fie linii drepte. Faptul că coeficienții din ecuație Și
Locurile schimbate înseamnă că în timpul inversării, liniile drepte care trec prin 0 se vor transforma în cercuri, iar cercurile care trec prin 0 se vor transforma în linii drepte.

Funcții de putere

Principala diferență dintre aceste funcții și cele discutate mai devreme este că nu sunt unu-la-unu (
). Putem spune că funcția
transformă un plan complex în două copii ale aceluiași plan. O tratare precisă a acestui subiect necesită utilizarea aparatului greoi al suprafețelor Riemann și depășește sfera problemelor luate în considerare aici. Este important să înțelegem că planul complex poate fi împărțit în sectoare, fiecare dintre acestea fiind mapat unul la unul pe planul complex. Aceasta este defalcarea funcției
arată astfel. De exemplu, semiplanul superior este mapat unu-la-unu pe planul complex de către funcția
. Distorsiunile geometrice pentru astfel de imagini sunt mai greu de descris decât în ​​cazul inversării. Ca exercițiu, puteți urmări în ce se transformă grila de coordonate dreptunghiulare ale semiplanului superior la afișare

Se poate observa că grila de coordonate dreptunghiulare se transformă într-o familie de parabole care formează un sistem de coordonate curbilinii în plan
. Partiția planului descris mai sus este astfel încât funcția
afișează fiecare dintre sectoare pe întregul plan. Descrierea mapării înainte și inversă arată astfel

Deci funcția
Are diverse funcții inverse,

specificate în diverse sectoare ale avionului

În astfel de cazuri, se spune că maparea este cu mai multe foi.

Funcția Jukovsky

Funcția are propriul nume, deoarece a stat la baza teoriei aripii aeronavei creată de Jukovski (o descriere a acestui design poate fi găsită în carte). Funcția are o serie de proprietăți interesante, să ne concentrăm asupra uneia dintre ele - aflați pe ce seturi acţionează această funcție unu-la-unu. Luați în considerare egalitatea

, Unde
.

În consecință, funcția Jukovski este unu-la-unu în orice domeniu în care pentru oricare Și produsul lor nu este egal cu unul. Acestea sunt, de exemplu, cercul unității deschise
și complementul cercului unitar închis
.

Luați în considerare acțiunea funcției Jukovski asupra unui cerc, atunci

Separând părțile reale și imaginare, obținem ecuația parametrică a elipsei

,
.

Dacă
, atunci aceste elipse umplu întregul plan. Se poate verifica într-un mod similar că imaginile segmentelor sunt hiperbole

.

Functie exponentiala

Funcția poate fi extinsă într-o serie de puteri care este absolut convergentă în întregul plan complex; prin urmare, este diferențiabilă peste tot. Să descriem seturile pe care funcția este unu-la-unu. Egalitatea evidentă
arată că planul poate fi împărțit într-o familie de benzi, fiecare dintre acestea fiind mapată unu-la-unu printr-o funcție pe întregul plan complex. Această partiție este esențială pentru înțelegerea modului în care funcționează funcția inversă sau, mai precis, funcțiile inverse. Pe fiecare dintre dungi există o mapare inversă definită în mod natural

Funcția inversă în acest caz este, de asemenea, multivalentă, iar numărul de funcții inverse este infinit.

Descrierea geometrică a mapării este destul de simplă: linii drepte
se transformă în raze
, segmente

se transformă în cercuri
.