Как быстро переводить в разные системы счисления. Перевод дробной части. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Сдающим ЕГЭ и не только…
Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке.
Например, нужно перевести число 810 10 в двоичную систему:
Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102
Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить?
В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.
Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.
Таблица степеней числа 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.
Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.
Перевод целых чисел
Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810 10 . Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.
- Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2 9 = 512.
- Вычитаем 512 из 810, получаем 298.
- Повторим шаги 1 и 2, пока не останется 1 или 0.
- У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .
Способ 1 : Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810 10 = 1100101010 2 . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.
Способ 2 : Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.
810 =
А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010
.
Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».
Ответ - столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.
Теперь пример попроще.
Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 - это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.
Получаем 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .
Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.
Переведем в двоичную систему число 547 8 .
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Ещё одно, например 7D6A 16 .
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 . Переведем в 8-ричную систему число C25 16 . Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
Перевод отрицательных чисел
Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать - в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.
Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1.
Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.
Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001 . Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ - 4.
Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.
Перевод дробных чисел
Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.
Переведем число 0,6752 в двоичную систему.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.
Получается 0,6752 = 0,101011 .
Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011 .
2.3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
2.3.1. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую
Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q :
1. Основание новой системы счислениявыразитьцифрамиисходной системы счисления ивсепоследующие действия производить в исходной системе счисления.
2. Последовательно выполнять деление данного числаиполучаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
3. Полученныеостатки,являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.
Пример 2.12. Перевестидесятичное число 173 10 в восьмеричную систему счисления:
Получаем:173 10 =255 8
Пример 2.13. Перевести десятичное число 173 10 в шестнадцатеричную систему счисления:
Получаем: 173 10 =AD 16 .
Пример 2.14. Перевести десятичное число 11 10 в двоичную систему счисления. Рассмотреннуювыше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:
Получаем: 11 10 =1011 2 .
Пример 2.15. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 363 10 в двоичное число.
|
Делитель |
|||||||||
Получаем: 363 10 =101101011 2
2.3.2. Перевод дробных чисел из одной системысчисленияв другую
Можно сформулировать алгоритм перевода правильнойдроби с основанием p в дробь с основанием q:
1. Основание новой системы счислениявыразитьцифрамиисходной системы счисленияивсепоследующие действия производить в исходной системе счисления.
2. Последовательноумножатьданноечислои получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведенияне станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.
3. Полученные целые части произведений,являющиеся цифрами числа в новой системе счисления,привести в соответствие с алфавитомновой системы счисления.
4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Пример 2.17. Перевести число 0,65625 10 в восьмеричную систему счисления.
Получаем: 0,65625 10 =0,52 8
Пример 2.17. Перевести число 0,65625 10 вшестнадцатеричнуюсистему счисления.
|
x 16 |
|
Получаем: 0,65625 10 =0,А8 1
Пример 2.18. Перевестидесятичнуюдробь 0,5625 10 в двоичную систему счисления.
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
Получаем: 0,5625 10 =0,1001 2
Пример 2.19. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.7 10 .
Очевидно, чтоэтот процесс может продолжаться бесконечно,давая все новые и новые знакивизображениидвоичногоэквивалентачисла 0,7 10 . Так,за четыре шага мы получаем число 0,1011 2 , а за семь шагов число 0,1011001 2 ,которое является более точным представлениемчисла 0,7 10 в двоичной системе счисления,и т.д.Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа.
2.3.3. Перевод произвольных чисел
Перевод произвольных чисел,т.е. чисел, содержащих целую и дробную части,осуществляется в два этапа.Отдельно переводится целая часть, отдельно - дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).
Пример 2.20 . Перевести число 17,25 10 в двоичную систему счисления.
Получаем: 17,25 10 =1001,01 2
Пример 2.21. Перевести число 124,25 10 в восьмеричную систему.
Получаем: 124,25 10 =174,2 8
2.3.4. Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2 n и обратно
Перевод целых чисел. Если основание q-ичной системы счисления является степеньючисла 2, топереводчисел из q-ичной системы счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n , нужно:
1. Двоичное число разбить справа налево на группы по nцифр в каждой.
2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
Пример 2.22. Число 101100001000110010 2 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 541062 8 .
Пример 2.23. Число 1000000000111110000111 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем числосправа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
Получаем шестнадцатеричноепредставлениеисходногочисла: 200F87 16 .
Перевод дробных чисел. Длятого,чтобыдробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n , нужно:
1. Двоичное число разбить слева направо на группы по nцифр в каждой.
2. Еслив последней правой группе окажется меньше n разрядов,то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число изаписать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n .
Пример 2.24. Число0,10110001 2 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,542 8 .
Пример 2.25. Число0,100000000011 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
Получаем шестнадцатеричноепредставлениеисходногочисла: 0,803 16
Перевод произвольных чисел. Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n , нужно:
1. Целую часть данногодвоичногочисларазбитьсправа налево, а дробную - слева направо на группы по n цифр в каждой.
2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулямидо нужного числа разрядов;
3.Рассмотретькаждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n
Пример 2.26. Число 111100101,0111 2 переведем в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34 8 .
Пример 2.27. Число11101001000,11010010 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части числа на тетрадыи под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:
Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2 16 .
Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2 n в двоичную систему. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2 n , перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Пример 2.28 .Переведем шестнадцатеричное число 4АС35 16 вдвоичную систему счисления.
В соответствии с алгоритмом:
Получаем: 1001010110000110101 2 .
Задания для самостоятельного выполнения (Ответы )
2.38. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления.
|
Двоичная |
Восьмеричная |
Десятичная |
Шестнадцатеричная |
2.39. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления.
|
Двоичная |
Восьмеричная |
Десятичная |
Шестнадцатеричная |
2.40. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления.
|
Двоичная |
Восьмеричная |
Десятичная |
Шестнадцатеричная |
|
59,B |
Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".
Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Получить запись
Выполнено переводов: 1363703
Системы счисления
Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.
Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:
Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:
1.
Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение:
10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ:
10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение:
E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ:
E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.
Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.
3.
Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение:
273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка
: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ:
273 10 = 421 8
Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.
Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.
4.
Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение:
0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ:
0.125 10 = 0.001 2
Чтобы быстро переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную, нужно хорошо знать числа "2 в степени". Например, 2 10 =1024 и т.д. Это позволит решать некоторые примеры на перевод буквально за секунды. Одной из таких задач является задача A1 из демо ЕГЭ 2012 года . Можно, конечно, долго и нудно делить число на "2". Но лучше решать по-другому, экономя драгоценное время на экзамене.
Метод очень простой. Суть его такая: если число, которое нужно перевести из десятичной системы, равно числу "2 в степени", то это число в двоичной системе содержит количество нулей, равное степени. Впереди этих нулей добавляем "1".
- Переведем число 2 из десятичной системы. 2=2 1 . Поэтому в двоичной системе число содержит 1 нуль . Впереди ставим "1" и получаем 10 2 .
- Переведем 4 из десятичной системы. 4=2 2 . Поэтому в двоичной системе число содержит 2 нуля . Впереди ставим "1" и получаем 100 2.
- Переведем 8 из десятичной системы. 8=2 3 . Поэтому в двоичной системе число содержит 3 нуля . Впереди ставим "1" и получаем 1000 2.
Аналогично и для других чисел "2 в степени".
Если число, которое нужно перевести, меньше числа "2 в степени" на 1, то в двоичной системе это число состоит только из единиц, количество которых равно степени.
- Переведем 3 из десятичной системы. 3=2 2 -1. Поэтому в двоичной системе число содержит 2 единицы . Получаем 11 2.
- Переведем 7 из десятичной системы. 7=2 3 -1. Поэтому в двоичной системе число содержит 3 единицы . Получаем 111 2.
На рисунке квадратиками обозначено двоичное представление числа, а слева розовым цветом-десятичное.
Аналогичен перевод и для других чисел "2 в степени-1".
Понятно, что перевод чисел от 0 до 8 можно сделать быстро или делением, или просто знать наизусть их представление в двоичной системе. Я привела эти примеры, чтобы Вы поняли принцип данного метода и использовали его для перевода более "внушительных чисел", например, для перевода чисел 127,128, 255, 256, 511, 512 и т.д.
Можно встретить такие задачи, когда нужно перевести число, не равное числу "2 в степени", но близкое к нему. Оно может быть больше или меньше числа "2 в степени". Разница между переводимым числом и числом "2 в степени" должна быть небольшая. Например, до 3. Представление чисел от 0 до 3 в двоичной системе надо просто знать без перевода.
Если число
больше
, то решаем так:
Переводим сначала число "2 в степени" в двоичную систему. А потом прибавляем к нему разницу между числом "2 в степени" и переводимым числом.
Например, переведем 19 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени" на 3.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
Если число меньше числа "2 в степени", то удобнее пользоваться числом "2 в степени-1". Решаем так:
Переводим сначала число "2 в степени-1" в двоичную систему. А потом вычитаем из него разницу между числом "2 в степени-1" и переводимым числом.
Например, переведем 29 из десятичной системы. Оно больше числа "2 в степени-1" на 2. 29=31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
Если разница между переводимым числом и числом "2 в степени" больше трех , то можно разбить число на составляющие, перевести каждую часть в двоичную систему и сложить.
Например, перевести число 528 из десятичной системы. 528=512+16. Переводим отдельно 512 и 16.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
Теперь сложим столбиком:
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Таблица 4. Степени числа 2
| n (степень) | |||||||||||
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
Таблица 5. Степени числа 8
| n (степень) | |||||||
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:
Таблица 6. Степени числа 16
| n (степень) | |||||||
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).
Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.
8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).
