Скобки общий множитель уравнение. Вынесение общего множителя за скобку. Основные результаты обучения

На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.

Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.

Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:

В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.

В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?

Найдём значение выражения: .

В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.

Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .

Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.

Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : .

Выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .

Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?

Вспомним, что многочлен - сумма одночленов.

Рассмотрим многочлен . Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен - произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.

Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: .

Рассмотрим ещё один пример: .

Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .

Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.

Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: .

В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:

Усложним пример, увеличив количество одночленов:

После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.

Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:

Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим легкий прием, который позволит вам быстро решить эту проблему.

Общим множителем также может быть искомое значение :

Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении.

В ходе различных математических операций при работе с уравнениями и равенствами часто появляется возможность значительно упростить все действия путем вынесения некоего общего множителя за пределы самого выражения. Это позволяет не только сократить большие группы многочлена, но и упростить сам процесс решения.

Вынесение множителя позволяет также избавиться от лишних действий и оптимизировать процесс вычислений. В данном видеоуроке мы подробно изучим возможности процедуры вынесения. Например, рассмотрим выражение следующего вида:

Нам необходимо его преобразовать так, чтобы при известных значениях всех переменных было легко вычислить значение всего полинома. Положим, а=1, с=2, х=5. Обратим внимание, что у обоих членов многочлена есть общая часть - множитель-переменная х. Она легко выносится за скобки, согласно распределительному закону умножения:

ах + сх = х(а + с)

Для нахождения правой части данного равенства необходимо поделить каждый одночлен исходного полинома на утвержденный общий множитель (в этом случае - х), частное записать алгебраической суммой в скобках, а сам множитель поставить перед ними. Руководствуясь заданными значениями переменных, получаем:

ах + сх = х(а + с) = 5(1 + 2) = 15

В видеоуроке сделан акцент, что вынесение множителя за скобки в представленном примере, сократило количество действий по расчету с трех до двух. В более сложных упражнениях эффект упрощения может быть ещё более значителен. А многие уравнения без применения метода вынесения множителя вообще очень сложно решить.

В общем, вынесение общего множителя за скобки в полиномах именуется процессом разложения многочлена на отдельные множители. При этом используется следующий алгоритм для обработки данных:

Выделяется рабочая группа выражения (многочлен);
Осуществляется поиск подходящего множителя, на который можно было бы поделить каждый одночлен;
Производится деление мономов на выделенный множитель, при этом результаты записываются вместо одночленов, как алгебраическая сумма;
Получившийся многочлен заключается в скобки, общий множитель ставится перед ними.

При выборе множителя часто возникают проблемы. Во-первых, он должен отвечать максимальному количеству мономов, в идеале - делить все одночлены. Во-вторых, в комплексных задачах необходимо подбирать такой множитель, чтобы он позволял провести решение всего упражнения дальше, облегчая всю процедуру. Как правило, если нет строгого условия извне (в уравнениях, к примеру), то множитель подбирается по принципам: подходящий всем мономам и являющийся наибольшим по степени и коэффициенту при переменной. Иначе говоря, множитель должен включать все переменные, наибольшую возможную степень, а также наибольший кратный числовой коэффициент. Рассмотрим пример:

2х 2 у - 8х 2 у + 4х 2 +4х 3 у 2

Вполне очевидно, что в этом выражении для всех одночленов наиболее приемлемым множителем будет переменная х, взятая во второй степени (максимально допустимой) и с числовым коэффициентом, равным 2, т.е. 2х 2:

2х 2 у - 8х 2 у + 4х 2 +4х 3 у 2 = 2х 2 (у - 4у + 2ху 2) = 2х 2 (2ху 2 - 3у)

Производим действия в скобках, получаем итоговый ответ, представляющий собой произведение многочлена на одночлен-множитель.

Рассмотрим ещё один пример. Необходимо преобразовать выражение вида:

2х(4-у) + х(у-4)

С первого взгляда, тут трудно что-либо вынести за скобки, кроме переменной х, вынесение которой создаст двойные скобки и лишь усложнит многочлен, поэтому данный шаг нецелесообразен. Однако следуя стандартной логике и базовым правилам математического сложения, можно уверенно записать, что:

(у-4) = -(4-у)

Если минус у правого выражения внести внутрь, то все внутренние знаки сменятся на противоположные, образуя выражение, полностью идентичное левой части. Поэтому, корректно будет записать:

2х(4-у) + х(у-4) = 2х(4-у) - х(4- у)

Теперь же оба члена многочлена содержат общий множитель (4- у), который легко вынести за скобки, продолжив дальнейшие вычисления:

2х(4-у) - х(4- у) = (4- у)(2х - х) = (4- у)х = 4х - ух

Последние два этапа расчетов не относятся к общей процедуре вынесения множителя, и являются индивидуальным решением данного примера. Сам процесс вынесения дает нам произведение двух элементарных биномов.

Представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов (или одночленов)

Например,

Вынесение общего множителя за скобки

Необходимо проанализировать каждый член многочлена, найти общую часть (если такая имеется). Например, в выражении каждый член имеет y . Переменную y можно вынести за скобки.

Переменные, входящие в каждый член многочлена выносят за скобки в степенях с наименьшим показателем , который встречается. В примере встречается y 2 , y 5 и y 4 . Выносим за скобки y 2 .

Что останется от каждого члена после вынесения общего множителя за скобки? Что записать в скобках? Необходимо каждый член разделить на общий множитель, который выносим за скобки. Например, при вынесении y 2 за скобки в нашем примере

Если числовые коэффициенты каждого члена многочлена имеют наибольший общий делитель , то его тоже можно вынести за скобки. В нашем примере НОД(18; 30; 6)=6

Если за скобки выносят множитель "-1" (еще говорят "выносят минус"), то в скобках знак каждого слагаемого меняется на противоположный

Общим множителем могут быть и многочлены. Например, для выражения общим множителем является многочлен

Выносим за скобки, получим

Всегда можно проверить верно ли выполнено вынесение общего множителя за скобки. Для этого необходимо выполнить умножение общего множителя на многочлен в скобках и проверить, что полученное выражение полностью совпадает с первоначальным.

Способ группировки

Если члены многочлена не имеют общего множителя, то следует попытаться разложить его методом группировки.

Для этого надо объединить в группы те члены, которые имеют общие множители, и вынести за скобки общий множитель каждой группы. После этого может оказаться общий множитель многочлен у получившихся групп, который выносят за скобки.

Группировать члены многочлена можно по-разному. Не при всякой группировке удастся разложить многочлен на множители.

Разложение многочлена иногда невозможно известными методами. Тогда разложить многочлен возможно, отыскав один корень и

Рассмотрим несколько примеров вынесения общего множителя за скобки, чтобы стало понятнее, как это делать.

Примеры вынесения общего множителя за скобки

Пример 1.

Задача разложить многочлен на множители

г) 12*a*b^4 18*a^2*b^3*c

д) 5*a^4-10*a^3+15*a^5

Решение

а) 2*x+6*y = 2*(x+3*y) Здесь мы вынесем за скобки общий множитель, в данном случае 2

б) a^3+a^2= (a^2) * (a+1) Если у нас в многочлене присутствует 1 и более переменных, то её мы можем вынести за скобки (переменную нужно брать с наименьшей степенью в дроби)

в) В следующем примере мы применили навыки двух предыдущих примеров таких как вынесение общего числа за скобки и общей переменной и в результате получим: 4*a^3+6*a^2 = 2*(a^2)*2*a +2*(a^2) * 3 = 2* a^2 * (2*a+3)

г) Обычно для целых коэфициэнтов находят не общий делитель, а самый большой делитель, например для 12 и 18 это будет число 6, а для 8 и 4 это будет 4,

Также тут присутствует переменная b и для неё наименьший показатель равен 3,

А для переменной a, самая маленькая степень будет равна 1.

Для переменной с, наименьшего показателя не имеется, действительно в первом члене переменной cвообще нету.

12*a*(b^4) 18*(a^2)*(b^3)*c = 6*a*(b^3) * 2*b-6*a*(b^3) * 3*a*c = 6*a*(b^3)* (2*b-3*a*c).

д) 5*(a^4) 10*a^3 + 15* (a^5) = 5*(a^3) * (a-2+3*(a^2)

В этом примере мы выработали алгоритм:

На основе нескольких примеров выше, выработаем несколько правил:

1. Вначале мы должны найти наибольший числовой множитель в дроби, чтобы как можно больше упростить выражение.

3.Наконец, мы объединим первые два правила и получим, что нужно выносить за скобки произведение наибольшего числового множителя на переменную(ые) с наименьшим показателем.

Замечание. Иногда мы должны выносить за скобки дробный множитель, это делается из за того что иногда нам приходится работать с дробями т.к. других чисел просто нету. Например:

2,4*x+7, 2*y = 2 ,4*(x+3*y)

3*a/7 6/7 + 9*c/7 = (3/7) * (a-2*b+3*c).

Пример 2.

Разложить на множители:

-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2)

Решение будет состоять из выработанного нами алгоритма:

1) Найдем наибольший числовой множитель в нашем примере это -1, -2 и 5.

2) Переменная X находится во всех многочленах и мы можем вынести её с наименьшим показателем, все степени X4, 3, 2; самая маленькая степень это x^2, её мы и вынесем.

3) Переменная yне входит во все члены многочлена, поэтому её мы не имеем права выносить

В результате мы можем вынести x ^2. Но в нашем примере удобнее будет вынести x^2. Тогда получим:

-(x^4) *(y^3) 2*(x^3) * (y^2)+ 5*(x^2) = -(x^2) * ((x^2) * (y^3) +2*x*(y^2) -5)

Пример 3.

Можно ли разделить 5*(a^4) 10*(a^3) + 15*(a^5) на 5*a^3? Если можно, то тогда выполним деление.

В самом начале мы разложили этот многочлен, поэтому воспользуемся ранее полученным:

5*a^4 10*(a^3) +15*(a^5) = 5*a^3 * (a 2 +(a^2))

Получается что деление на 5*a^3 возможно, в итоге получится a - 2 + З*(a^2).

Теперь рассмотрим случай, когда имеет место вынести не один одночлен, а их сумму, к сожалению иногда мы просто не можем вынести за скобку одночлен

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.