Меню
ГлавнаяAndroid

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «поиск решения» в excel задание. кг сырья первого типа, a. Решение задачи с помощью Excel и симплекс-методом

1. Преобразовываем неравенства в равенства

2. Находим начальное допустимое базисное решение

3. На основе условия оптимальности определяется вводимая переменная. Если вводимых переменных нет, то процесс закончен.

4. На основе условия допустимости выбираем исключаемая переменная

5. Вычисляем элементы новой ведущей строки

новая ведущая строка = текущая строка/ведущий элемент

6. Вычисляем элементы остальных строк, включая z-строку

новая строка = текущая строка – ее коэффициенты в ведущем столбце * новую ведущую строку

Переходим к шагу 3.

Для удобства записи итерационного процесса все значения записываем в Симплекс-таблицу.

2. Пример решения задачи лп с использованием пакета ms excel

Для многих задач оптимизации удобно применять модель линейного программирования. Суть задачи заключается в составлении системы неравенств, описывающих соответствующие ограничения задачи и задания функции оптимизации.

Для нахождения решения в подобных моделях, можно использовать средство MS EXCEL – ПОИСК РЕШЕНИЯ.

Рассмотрим, как составить модель линейного программирования и найти ее решение на примере.

2.1. Постановка задачи

На трех станках обрабатываются детали двух видов (А и Б), причем каждая деталь проходит обработку на всех станках. Известно время обработки деталей на каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и прибыль от продажи одной детали каждого вида (данные в таблице). Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

2.2. Построение математической модели

Обозначим через х 1 и х 2 количество единиц деталей видов А и Б, планируемое к выпуску. Тогда время обработки х 1 деталей вида А на первом станке составляет 1* х 1 ; х 2 деталей вида Б соответственно 2*х 2 . Суммарное время работы станка I для изготовления планируемого количества деталей равно х 1 +2*х 2 , оно ограничено 16 часами работы этого станка в течение одного цикла производства. Поэтому должно выполняться неравенство:

х 1 +2*х 2 <=16;

Аналогично для станков II и III получаем неравенства соответственно:

х 1 + х 2 <=10;

3*х 1 + х 2 <=24;

Кроме того, по смыслу определения веденных величин х 1 и х 2 , должны выполняться условия: х 1 >=0; х 2 >=0;

Таким образом, получаем систему неравенств, называемую системой ограничений задачи:

Любое решение (х 1 ; х 2) системы ограничений называется планом выпуска продукции или допустимым планом задачи.

Прибыль от реализации х 1 единиц деталей вида А равна 4 . х 1 , а прибыль от реализации х 2 единиц деталей вида Б равна 2х 2. Суммарная прибыль от реализации продукции, выпущенной согласно плану (х 1 ; х 2) равна:

F (х 1 ; х 2 )=4х 1 +2х 2 (тыс. руб).

Линейная функция F (х 1 ; х 2 ) называется целевой функцией задачи.

По условию задачи требуется найти такой план (х 1 ; х 2) при котором прибыль была бы максимальной.

Таким образом, построена математическая модель задачи как задачи линейного программирования:

F (х 1 ; х 2 )=4х 1 +2х 2 → max

Оптимизационные модели используются, чтобы найти ответы на вопросы типа:

  • как составить расписание для сотрудников колл-центра, чтобы оно соответствовало их отпускным запросам, сбалансировало переработки и исключало круглосуточные дежурства?
  • какие возможности бурения нефтяных скважин использовать для получения максимального дохода, держа при этом под контролем все риски?
  • когда следует делать новые заказы в Китае и как их доставлять, чтобы минимизировать стоимость и соответствовать ожидаемому спросу?

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Целью оптимизации всегда является «максимизация» или «минимизация». Самая распространенная и понятная форма математической оптимизации - это линейное программирование, секретная разработка советских инженеров конца 1930-х годов, ставшая популярной в ходе Второй мировой войны. Кстати, слово «программирование» в данном словосочетании является пережитком военной терминологии того времени и не имеет ничего общего с компьютерным программированием.

Начнем с любимого примера экономистов - пушек и масла. Идет 1941-й год, вы – хозяин французской молочной фермы. Днем вы доите коров и производите сливочное масло, ночью – собираете автоматы. Ваша цель – максимальная прибыль, чтобы как можно дольше производить автоматы. От посредника из Сопротивления вы получаете за каждый автомат по 195 денежных единиц (чтобы не напрягать Excel несуществующими франками, допустим, что это доллары). За каждую бочку масла на рынке вам платят по $150.

Условия и ограничения. Себестоимость одной бочки масла – $100, а одного автомата – $150. Месячный бюджет на производство - $1800. Вы храните продукцию в 21-кубометровом подвале. Автомат занимает ½ м 3 , бочка масла 1½ м 3 . Сколько автоматов и бочек масла вам нужно продать за месяц, чтобы получить максимальную прибыль?

Линейная программа определяется как набор решений, необходимый для оптимизации объекта в свете некоторых условий, где и объект, и условия линейны. Вы можете складывать, вычитать, умножать на константы, но не можете применять для решения нелинейные функции, например, перемножение переменных (нельзя автоматы умножить на масло), возведение в квадрат или логические циклы, такие как ЕСЛИ.

Представим области допустимых значений графически. Во-первых, количество пушек и бочек масла должно быть неотрицательным. Во-вторых, максимально можно произвести $1800/$150 = 12 автоматов или $1800/$100 = 18 бочек масла (рис. 1). Общее название этого треугольника – политоп – фигура с плоскими сторонами (например, бриллиант). В-третьих, подвал может вместить не более 21/(½) = 42 автоматов или 21/(1½) = 14 бочек масла (рис. 2).

Чтобы найти идеальное соотношение автоматов и бочек введем в задачу понятие линии уровня функции . Такая линия в оптимизационной модели включает значения, приносящие одинаковую прибыль. Линию уровня можно задать уравнением:

(195 – 150) * N автоматов + (150 – 100) * N бочек масла = С,

где С – константа.

Например, при С = 450, линия будет проходить через координаты (0;10) и (9;0). Графически идея максимизации прибыли реализуется перемещением линии уровня параллельно самой себе в направлении увеличения значений по осям Х и Y (рис. 3). Любопытно, что для политопа оптимум всегда лежит в одной из вершин (или единственного решения не существует вовсе). На этом свойстве основан алгоритм симплексного метода. Решение задачи в Excel начинают с создания области модели (рис. 4). Формула целевой функции в ячейке В1 =СУММПРОИЗВ(C4:D4;C10:D10).

Рис. 3. Линия уровня и функция для оптимизации прибыли: а) некое произвольное начальное положение; б) линия уровня в оптимальном положении

У вас всё готово, чтобы нажать кнопку ДАННЫЕ –> Поиск решения . (Если вы не видите этой кнопки, установите надстройку Поиск решения; см. , глава 1). В открывшемся окне Параметры поиска решения задайте выделенные опции и нажмите Найти решение .

Рис. 5. Окно Поиск решения

Excel обновит лист и внесет на него результаты расчета (рис. 6).

Что произойдет, если добавить нелинейность? Допустим ваш посредник предлагает $500, если число автоматов в месяц будет более 5. Просто добавьте функцию ЕСЛИ в ячейку с прибылью (В1). Теперь целевая функция выглядит так: =СУММПРОИЗВ(C4:D4;C10:D10)+ЕСЛИ(C4>5;500;0). Жмем Поиск решения . Неудача, Excel сообщает об ошибке – условия линейности не выполнены (рис. 7).

Можно попробовать эволюционный алгоритм, лучше всего работающий с нелинейными моделями, и практически не ограничивающий вас в выборе функций. Работа эволюционного алгоритма в чем-то повторяет принципы работы биологической эволюции:

  • генерирует пул исходных решений (что-то вроде генетического пула) разной степени вероятности;
  • каждое решение имеет некий уровень пригодности к выживанию;
  • решения размножаются перекрестным переносом, то есть их компоненты выбираются из двух или трех существующих решений и затем комбинируются;
  • существующие решения мутируют в новые;
  • имеет место локальный поиск, в процессе которого генерируются новые решения вблизи лучшего на данный момент решения в популяции;
  • происходит отбор: случайно выбранные неуспешные кандидаты в решения выбрасываются из генетического пула.

К сожалению, с эволюционным алгоритмом все же возникают некоторые проблемы:

  • Время работы существенно больше, чем при симплекс-методе
  • Нет никакой гарантии, что он найдет оптимальное решение. Все, что в его силах - это контроль лучшего решения в популяции, пока не закончится время, либо популяция не изменится в достаточной степени для продолжения, либо вы принудительно не остановите «Поиск решения» нажатием кнопки ESC.
  • Эволюционный поиск решения работает довольно медленно. А если области допустимых значений сложные, он часто ругается, не найдя даже места, с которого начать.
  • Если вы хотите заставить эволюционный алгоритм хорошо работать в Excel, вам придется определить жесткие границы для каждой переменной решения. Даже если ваше решение более или менее неограниченное, вам все же нужны ограничения.

Принимая во внимание последний пункт, для решения задачи с автоматами и маслом вам нужно добавить ограничение, согласно которому оба решения не должны быть больше 25 (рис. 8). Установив основные параметры модели, кликните на кнопку Параметры . Проработав около минуты, эволюционный алгоритм выдал ожидаемое решение – 6 автоматов и 9 бочек масла. Поскольку без бонуса оптимально сделать лишь три автомата, а бонус выплачивается при производстве более 5 автоматов, очевидно, что оптимальным будет выбор 6 автоматов.

Рассмотрим теперь более сложный пример. Вы работаете в компании, которая производит апельсиновый сок, смешивая натуральные соки разных сортов (рис. 9). Чтобы ваш сок отвечал самым изысканным требованиям:

  • отношение по шкале Брикс/кислотность должно оставаться в пределах 11,5–12,5;
  • уровень кислотности должен оставаться между 0,75–1%;
  • уровень вяжущего вкуса должен быть 4 или ниже;
  • цвет должен находиться в рамках 4,5–5,5.

Шеф сообщил вам, что на январь и февраль он ожидает спросу на уровне 600 000 галлонов сока в месяц, а в марте – 700 000 галлонов. И еще, имеется договор со штатом Флорида, предоставляющий налоговые льготы при условии, что компания покупает не менее 40% сока каждый месяц у фермеров, выращивающих сорт Valencia . Договор следует соблюсти.

Рис. 9. Список характеристик для производства свежевыжатого апельсинового сока (чтобы увеличить изображение, кликните на нем правой кнопкой мыши, и выберите Открыть картинку в новой вкладке )

Создайте оптимизационную модель (рис. 10). Формулы можно изучить на соответствующем листе, приложенного Excel-файла. Кликните Поиск решения , и введите параметры (рис. 11). Нажмите Найти решение .

Рис. 11. Заполненное окно Поиск решения для задачи смешивания

Запустив Поиск решения , вы находите оптимальную стоимость закупок - $1,23 млн. (рис. 12). Обратите внимание, что заказ флоридской Valencia проходит по нижней границе условия. Очевидно, эта сделка - не лучший вариант, но приходится смириться. Второй по популярности сорт - это Verna из Мексики, которая чертовски дешева, но ровно настолько же ужасна.

Вы представляете результаты расчета шефу, но он остается недоволен, и говорит о том, что не хочет выходить за бюджет $1,17 млн. Вы возвращаетесь к компьютеру и начинаете понимать, что стоимость перестала быть целевой функцией. Теперь это условие! А какова цель? Вы можете снизить стоимость закупок только смягчив требования к качеству. Вы решаете сформулировать их в терминах процентного сокращения, и делаете новую модель (рис. 13).

Обратите внимание, что в ячейках В26:29 и F26:F29 теперь не константы, а формулы. Ваша новая цель – минимизация процента снижения качества в ячейках G26:G29. Точнее, вы бы хотели минимизировать максимальное из значений в ячейках G26:G29. Однако, если в ячейку D2 поместить формулу =МАКС(G26:G29), модель не будет работать. Напоминаю, функция МАКС не является линейной. Здесь доступна маленькая хитрость – можно внести дополнительное условие в модель: $G$26:$G$29<=$D$2 (рис. 14), а ячейку D2 оставить пустой. Т.е., ячейка D2 будет оптимизироваться не благодаря наличию в ней формулы, а последовательными циклами, запускаемыми этим дополнительным условием.

Нажмите Найти решение . Симплексный алгоритм будет пытаться приблизить D2 к 0 как целевую функцию модели, в то время как ограничения по вкусу и цвету будут пытаться увеличить ее насколько возможно, чтобы получить пригодную для работы смесь. Где же остановится значение D2? Самое меньшее из возможных значений - максимальный процент из четырех сниженных в диапазоне G26:G29. Мы видим (рис. 15, ячейки С26:Е29), что снижение расходов на 5% потребовало выйти за ограничения качества по всем четырем параметрам.

Вы представили данные шефу, который увидел, что сокращение расходов на 5% не стоит снижения качества сока, поэтому он согласовал ваш первый вариант. Но, когда вы принесли его в отдел снабжения, сотрудники возмутились. Как можно было так раздробить поставки!? Снабженцы настаивают, чтобы вы укрупнили партии: не более 4 поставщиков ежемесячно! И вы садитесь за новую модель. К сожалению, использовать функции ЕСЛИ или СЧЁТ вы не можете, так как хотите остаться в рамках линейной модели. Поэтому вам снова приходится прибегнуть к ухищрениям (рис. 16). Вы добавляете в модель область С33:Е43, которую определяете, как бинарную (значения в ней могут быть только 0 или 1), и оставляете ее пустой. А также область F33:H43, где каждая ячейка равна произведению значения из областей С33:Е43 на G5:G15. В параметры Поиск решения (рис. 17) вы добавляете еще одно условие $С$15:$Е$15 <= $F$33:$H$43 и еще одну область переменных – $C$33:$E$43.

Как в этом случае будет работать оптимизационный алгоритм? Когда он стартует все значения в областях С5:Е15, С33:Е43 и F33:H43 равны нулю. Допустим, что алгоритм пытается в ячейку С7 поместить значение 240. Сработает условие С7 <= F35, которое приведет к увеличению значения в F35, которое, в свою очередь, определяется формулой F35 = C35*$G7. Поскольку G7 – константа, а С35 – бинарная переменная, последней присваивается значение 1. Условие С7 <= F35 выполнено, т.к., 240 <= 1200. Таким образом вы моделируете неудобное условие «если… то»: «если заказ сделан, то бинарная переменная включается».

Нажмите Найти решение . Вы заметите, что решение задачи требует больше времени из-за добавления бинарных переменных. Если по какой-то причине Поиск решения слишком затянул свой поиск, вы всегда можете нажать ESC и увидеть лучшее из найденных решений на данный момент.

В принципе, вы уже довольно продвинутый специалист в области линейного программирования. Но, если вы вошли во вкус, и вам нравится разбираться с моделями всё возрастающей сложности, вот вам еще два зубодробительных примера.

Инженеры сообщили, что на производстве появились новые «снижатели кислотности». Данная технология способна нейтрализовать 20% кислоты в соке, протекающем через прибор. Это не только снижает процент кислоты, но и повышает индекс Брикс/кислотность на 25%. Но для «снижателя» нужна энергия и расходные материалы стоимостью $20 за 1000 галлонов сока. Не весь сок, поступающий от поставщиков, нужно прогонять через этот процесс, однако, если поставка по какому-нибудь заказу прогоняется через ионообменник, то должен быть обработан весь ее объем. Постройте модель с участием ионообменника для снижения стоимости.

Проблема с новым правилом заключается в том, что естественный способ его моделирования - нелинейный, что приведет к использованию медленного алгоритма оптимизации. Но, как и в предыдущем примере, можно ввести бинарную переменную в области С25:Е35, которая бы «включалась» при необходимости понизить кислотность партии (рис. 18). Поскольку, нельзя использовать произведение «индикатор понижения кислотности (бинарный) * объем партии», вы создаете область С37:Е47, которая вам пригодятся для уравнивания объемов, подлежащих снижению кислотности, без прямого участия в формулах самих этих объемов. Итак, области С25:Е35 и С37:Е47 не содержат формул. В области G25:I35 используются формулы =С25:Е35*G5:G15 (это ограничение партии общим доступным объемом сока), а в области К25:М35 =Е5:E15-GG5:15*(1-Е25:E35). Это условие заработает только если партия подлежит снижению кислотности.

Также в модели со «снижателем кислотности» были изменены формулы в ячейках С16:Е16 (теперь они учитывают затраты на снижение кислотности по формуле «индикатор (бинарный) * объем партии * $20) и в ячейках С50:Е51 (теперь они учитывают повышение коэффициента Брикс/кислотность на 25% и снижение кислотности на 20% для обработанных партий). В параметрах Поиска решения появились новые переменные и дополнительные условие (рис. 19). К сожалению, нажав кнопку Найти решение , вы узнаете, что надстройка Поиск решения не может справиться с задачей (рис. 20). Модель стали слишком сложной.

Рис. 19. Параметры Поиска решения в модели со «снижателем кислотности»

Рис. 20. Поиск решения не справляется с задачей

Вам нужно загрузить и установить OpenSolver (как это сделать см. , глава 1). OpenSolver «подхватит» установки, введенные только что в окне Поиск решения . Поэтому просто нажмите кнопку Solver . Полученное решение – $1 235 927 более чем на $ 100 000 лучше предыдущего минимума – $1 338 913.

До сих пор мы считали, что поставляемая продукция имеет точно указанные параметры. Резонно предположить, что эти параметры подвержены вариации, характеризуемой среднеквадратичным отклонением (рис. 21; подробнее см. ). Самое известное и широко используемое распределение случайной величины - это нормальное распределение, иначе называемое «колоколообразной кривой». Скажем, в случае с соком из Египта среднее значение отношения Брикс/кислотность будет 13, а среднеквадратичное отклонение (также называемой стандартным отклонением) - 0,9 (рис. 21). В данном примере 13 - это центр распределения вероятности, 68% заказов будут в пределах ±0,9 от 13, а 95% будут в пределах ±1,8 от 13.

Ваша цель - предложить план смешивания стоимостью меньше $1,25 миллиона, который наилучшим образом соответствует ожиданиям по качеству в свете вариабельности поставок.

Мы используем среднее и среднеквадратичное отклонение характеристик, чтобы применить имитационное моделирование по методу Монте-Карло (если вы слышите это название впервые, рекомендую ). В этом методе вместо включения параметров распределения (среднего значения и среднеквадратичного отклонения) в модель напрямую, создается большое число сценариев, основанных на этих самых параметрах распределения.

Сценарий - это один из возможных ответов на вопрос: «Если это - распределения, основанные на статистике, на что же будет похож конкретный заказ?» Каждый сценарий включает сорок параметров десяти сортов сока (рис. 22). Чтобы получить один такой параметр, воспользуйтесь функцией НОРМ.ОБР (подробнее о функции см. ). Например, в ячейке В33 отношение Брикс/кислотность для сорта Hamlin определяется формулой =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();H5;N5). Введите аналогичные формулы в область В33:СW76, сгенерировав 100 сценариев. Поиск решения не сможет работать с этими формулами, так как они нелинейны, поэтому скопируйте их в буфер и вставьте, но уже, как значения.

Цель минимизировать значение в ячейке D2. Т.е., найти решение, которое менее всего снижает границы качества для 100 сценариев. Как и в примерах на рис. 13–15, в ячейке D2 нет формулы. Оптимизация выполняется заданием параметров в окне Поиск решения. Все, что нужно - это поместить во все сценарии границы качества, а не просто ожидаемые значения характеристик. Таким образом, в отношение Брикс/кислотность вы добавляете условия B78:CW80 >= B26 и =< F26, затем проделываете то же самое с кислотностью, вяжущей составляющей вкуса и цветом (рис. 24). Нажмите Найти решение . Решение найдется довольно быстро. Если вы генерировали случайные значения сами, а не использовали те, что находятся в файле для загрузки, ваше решение может отличаться. Для моей сотни сценариев наилучшим показателем, который мне удалось получить, является изменение качества на 133%.

Рис. 24. Настройка Поиска решения для модели с вариабельностью характеристик

Если вы хотите расширить свои знания в области линейного программирования, рекомендую книгу The AIMMS optimization modeling book . Не пропустите две главы про трюки и подсказки – они поистине гениальны.

Написано по материалам книги Джона Формана . – М.: Альпина Паблишер, 2016. – С. 129–186. Насчет секретности разработки и Второй мировой – это, похоже, личное мнение автора книги. См. Википедию . – Прим. Багузина .

Задача 1 (распределительная)

На предприятии 4 вида продукции могут вырабатываться на 3 отдельных взаимозаменяемых машинах.

Известны:

· Производственное задание по выпуску продукции разных видов в планируемом периоде

  • · Фонд эффективного рабочего времени оборудования в планируемом периоде - ;
  • · Нормы затрат машинного времени на изготовление единицы продукции - ;
  • · Прибыль в руб. от реализации единицы продукции, выработанной на том или ином оборудовании - .

Исходная информация отображается в таблице следующей формы.

Таблица 1. Исходные данные

Фонд эф. раб. врем. -

Нормы затрат врем. на ед. продукции - прибыль на ед. продукции -

В задаче требуется найти план распределения производственного задания по выпуску продукции между исполнителями

при котором задание было бы выполнено с максимальной суммарной прибылью от реализации продукции.

РЕШЕНИЕ

Разработка экономико - математической модели.

Искомые переменные - характеризуют объём выпуска й продукции м исполнителем.

Тогда матрица искомых переменных

характеризует план распределения производственного задания по выпуску продукции между исполнителями.

Целевая функция

характеризующая суммарную прибыль от реализации всей продукции, должна быть максимизирована.

Ограничения по наличию и использованию эффективного рабочего времени исполнителей примут вид системы линейных неравенств (2):


Эта система ограничений характеризует условие, что суммарные затраты эффективного рабочего времени каждым исполнителем в планируемом периоде на выпуск всех видов продукции не должны превышать фонда времени. Таким образом, в результате решения задачи каждый исполнитель получит своё задание, исходя из его возможностей. Если в решении задачи какая - то уравновешивающая переменная и примет значение, - она будет характеризовать недоиспользованное эффективное рабочее время у того или иного исполнителя, которое в производственных условиях может быть использовано на выпуск продукции сверх задания.

Следующий блок ограничений должен отражать условие обязательного выполнения общего производственного задания по выпуску продукции по видам и будет представлен системой линейных уравнений (3):


Условие не отрицательности переменных:


Приведём задачу к каноническому виду, для этого в неравенства (2) добавим переменные, а в равенства (3) добавим 4 искусственных базиса. В результате запишем математическую модель задачи в каноническом виде:

Симплекс-метод

Решим данную задачу симплекс - методом, заполнив таблицу. Решение проходит за несколько итераций. Покажем это.


Таблица 1

В самой верхней строке таблицы заносятся коэффициенты целевой функции, вторая строка - это наименование всех неизвестных, входящих в симплексные уравнения. В первый столбец слева записывают коэффициенты, целевой функции, которые соответствуют базисным неизвестным, вошедшим в исходную программу (записанным в столбце). Следующий, третий по счёту, столбец в первой симплексной таблице - заполняется значениями базисных неизвестных. Далее идут столбцы, которые представляют векторы условий. Количество их равно 19. В следующем, первым по счёту после матрицы условий столбце - записываются суммы всех элементов по строкам. В столбце записываются частные от деления элементов итогового столбца В на элементы некоторого столбца, матрицы условий. Так как у нас есть искусственный базис, то в индексной строке будет вести два подсчёта, в первой из них, учитывая переменные, а во втором только искусственный базис. Так как у нас задача максимизации, то необходимо выводить из базиса искусственные базисы. В индексной второй строке выбираем наибольшую положительную оценку. У нас - это первый столбец. Найдём оценочные отношения

и. Из этих отношений выбираем наименьшее, у нас это четвёртая строка, для неё оценочное отношение равно 1300. Выделяем строку. Последний столбец - это коэффициент, на который умножается каждый элемент строки при пересчёте. Он получается делением элементов выделенного столбца на ключевой элемент, который находится на пересечении выделенного столбца и строки, у нас это 1. Пересчёт делаем для всех невыделенных элементов, который осуществляется следующим образом: от пересчитываемого элемента вычитаем элемент ключевой строки, умноженный на пересчитываемый коэффициент строки: и так все элементы. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Последние две строки - индексные строки, где пересчитываются значения целевой функции, а также вся индексная строка, когда все элементы будут положительными или нулевыми - задача будут решена.

Покажем это.

Таблица 2


Выделим столбец с переменной. Находим оценочные отношения, из которых выбираем наименьшее - это 550. Из базиса выводим искусственную переменную, при этом в базис вводим переменную. Когда выводится искусственный базис из базиса, соответствующий столбец убираем.

Таблица 3


Выделим столбец. Наименьшее оценочное отношение 600, находится в шестой строке. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 4


Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 28,57, находится в первой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 5


Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 407,7, находится в третьей строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 6


Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 344,3, находится в седьмой строке. Из базиса выводим искусственный базис, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 7


Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 3,273, находится во второй строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 8


Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 465, находится в седьмой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 9


Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 109, находится в третьей строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 10


Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 10, находится в первой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 11


Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 147, находится во второй строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 12


Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 367, находится в пятой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 13


Выделим столбец с переменной. Наименьшее оценочное отношение 128, находится в четвёртой строке. Из базиса выводим переменную, при этом в базис вводим переменную.

Таблица 14


Так как в индексной строке нет отрицательных оценок, получен оптимальный план, при котором объём выпуска продукции представлен матрицей

при этом прибыль максимальная и составляет 17275,31 руб.

Решение задачи с помощью Excel

Математическую модель задачи необходимо перенести в ЭТ EXCEL. Для этого:

  • · Продумать организацию исходных данных модели (коэффициенты целевой функции и ограничения), снабдив понятными названиями.
  • · Зарезервировать в отдельных ячейках независимые переменные математической модели.
  • · В одной из ячеек создать формулу, определяющую целевую функцию.
  • · Выбрать ячейки и поместить в них формулы, соответствующие левым частям ограничений.
  • · Войти в пункт меню "Поиск решения", ввести необходимые данные и получить оптимальное решение задачи.
  • · Проанализировать полученное решение и отчёты.

Рассмотрим последовательность действий по реализации этих этапов решения задачи с помощью EXCEL.

Создадим таблицу для ввода исходных данных.

В созданную форму введём исходные данные.


Коэффициенты целевой функции, выражающие прибыль, от производства единицы продукции каждого вида (единичная прибыль), записаны в ячейки В6:M6.

Коэффициенты ресурсных ограничений, определяющие потребность в каждом из видов ресурсов для производства единицы продукции, размещены в ячейках В9:M15. В ячейках P9:P15 записаны правые части ограничений на ресурсы. Для независимых переменных задачи - искомых объёмов производства продукции зарезервированы ячейки В3:M3.

В ячейку N7 вводим формулу для целевой функции, применив команду вставки функции СУММПРОИЗВ:


А также заполняем ограничения правой части.

После этого можно приступать к поиску решения. Для решения оптимизационных задач в EXCEL используется команда ПОИСК РЕШЕНИЯ меню СЕРВИС.

Эта команда оперирует с тремя основными компонентами построенной в ЭТ оптимизируемой модели:

  • · Ячейкой, содержащей целевую функцию задачи.
  • · Изменяемыми ячейками, содержащими независимые переменные.
  • · Ячейками, содержащими левые части ограничений на имеющиеся ресурсы, а также простые ограничения на независимые переменные.

Рассмотрим последовательность ввода этих компонентов.

Курсор в ячейку N7 и команда СЕРВИС - Поиск решения. На экране появится диалоговое окно.


В окне заполняем поле Установить целевую ячейку, в котором должен стоять адрес $N$7. Далее устанавливаем кнопку на поиск максимального значения. В поле Изменяя ячейки введём адреса искомых переменных $B3:$M3. Затем следует ввести ограничения, путём кнопки Добавить.

Теперь, когда все ограничения для поиска оптимального решения заданы можем нажать кнопку:

После этого получим решение задачи.



Если вычисления оказались успешными, после завершения поиска решения значения будут вставлены в таблицу, а также можно указать Тип отчёта - Результаты, в результате которого можем получить следующий отчёт. рабочий время оборудование прибыль


Следовательно, решение в EXCEL такое же, как и при СИМПЛЕКС методе, а это значит, что рассматриваемая задача, решена, верно.

Решение ЗЛП симплексным методом с использованием таблиц EXCEL

Пусть исходная ЗЛП приведена к каноническому виду, а ее система ограничений имеет предпочтительный вид. Например, для “Задачи об использовании сырья” математическая модель соответствующего вида будет такова:

Первая симплексная таблица на рабочем листе EXCEL будет иметь вид (рис. 10):



Считая, что студент знаком с алгоритмом табличного симплекс-метода, опишем основные этапы его реализации с помощью таблиц EXCEL.

Этап 1. Выбрать разрешающие столбец и строку и выделить разрешающий элемент (см. рис. 11).

Этап 2. Заменить в новой таблице столбцы “Базис” и ”С б ” согласно правилам их заполнения.



    Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и записываются в соответствующей по номеру строке новой таблицы:

, при i = r . (*)

    Все остальные элементы новой таблицы рассчитываются по формулам:

, при i ≠ r (**)

где - элемент новой симплекс-таблицы, a ij , - элемент предыдущей симплекс-таблицы, a rk - разрешающий элемент, a ik - элемент разрешающего столбца, a rj - элемент разрешающей строки.

Примечание . Для использования возможности EXCEL копирования формул с модификацией адресов входящих в них ячеек целесообразно программировать формулы (*) и (**) только для ячеек столбца ”В”, поставив не изменяющимся ячейкам абсолютные адреса. Затем данные формулы копируются во все оставшиеся ячейки каждой строки новой таблицы.

Этап 4. Элементы последней строки новой таблицы заполняются или по формулам (**), или по правилу заполнения данной строки.

Результаты расчетов в таблицах EXCEL для нашего примера приводятся на рис 11, а формулы, использовавшиеся при данных расчетах – на рис. 12.



    Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. - М.: Высш. шк., 1986.-319с., ил.

    Сакович В.А. Исследование операций (детерминированные методы и модели): Справочное пособие. - Мн.: Выш. шк., 1984.-256с.

    Таха Х. Введение в исследование операций: в 2-х книгах. Кн.1. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985.-479с., ил.

    Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическое программирование» (линейное программирование) для студентов экономических специальностей / Сост. Туровцев Г.В., Нудный И.П. – Запорожье, ЗГИА, 1984.-31с.

    Математическое программирование. Конспект лекций для студентов экономических специальностей дневного и заочного отделений /Глущевский В.В., Исаенко А.Н. – Запорожье: ЗГИА, 2003. – 150с.