Метод гомори подробный алгоритм решения. Метод Гомори решения задач целочисленного программирования. Примеры решения экономических задач

Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без условия целочисленности. Если полученный план целочисленный, задача решена. В противном случае к ограниче­ниям задачи добавляется новое ограничение, обладающее сле­дующими свойствами:

Оно должно быть линейным;

Должно отсекать найденный оптимальный нецелочислен­ный план;

Не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение, обладающее указанными свой­ствами, называется правильным отсечением.

Геометрически добавление ка­ждого линейного ограничения отвечает проведению прямой (ги­перплоскости), которая отсекает от многоугольника (многогран­ника) решений некоторую его часть вместе с оптимальной точ­кой с нецелыми координатами, но не затрагивает ни одной из целых точек этого многогранни­ка. В результате новый много­гранник решений содержит все целые точки, заключавшиеся в первоначальном многограннике решений и соответственно полу­ченное при этом многограннике оптимальное решение будет целочисленным (рис. 8.1).

жающие основные переменные *1, *2, новные переменные Хт+1, Хт+2, ..., Хт+1, решения

Хт через неос- х„ оптимального

нецелая компонента. В этом случае можно доказать, что неравен­ство

{Р, } - {а," т+\}хт+1 ■ -~{ат }Хп ^ 0, (* )

сформированное по /-му уравнению системы (8.5), обладает всеми свойствами правильного отсечения.

Для решения задачи целочисленного линейного программиро­вания (8.1)-(8.4) методом Гомори используется следующий ал­горитм:

1. Симплексным методом решить задачу (8.1)-(8.3) без учета условия целочисленности. Если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочис­ленного программирования (8.1)-(8.4). Если первая задача (8.1)-

(8.3) неразрешима (т.е. не имеет конечного оптимума или условия ее противоречивы), то и вторая задача (8.1)-(8.4) также неразре­шима.

2. Если среди компонент оптимального решения есть неце­лые, то выбрать компоненту с наибольшей целой частью и по соответствующему уравнению системы (8.5) сформировать пра­вильное отсечение (8.6).

3. Неравенство (8.6) введением дополнительной неотрицатель­ной целочисленной переменной преобразовать в равносильное уравнение

{Р(} - |а/ т+1 }*т+1- ■-{а|"л }хп + хп+1 > (®*^)

и включить его в систему ограничений (8.2).

4. Полученную расширенную задачу решить симплексным ме­тодом. Если найденный оптимальный план будет целочисленным,

то задача целочисленного программирования (8.1)-(8.4) решена. В противном случае вернуться к п. 2 алгоритма.

Если задача разрешима в целых числах, то после конечного числа шагов (итераций) оптимальный целочисленный план будет найден.

Если в процессе решения появится уравнение (выражающее основную переменную через неосновные) с нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то соответст­вующее уравнение не имеет решения в целых числах. В этом слу­чае и данная задача не имеет целочисленного оптимального ре­шения.

^ 8.1. Для приобретения оборудования по сортировке зерна фермер выделяет 34 ден. ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 60 кв. м. Фермер может заказать обо­рудование двух видов: менее мощные машины типа А стоимостью 3 ден. ед., требующие производственную площадь 3 кв. м (с уче­том проходов) и обеспечивающие производительность за смену 2 т зерна, и более мощные машины типа В стоимостью 4 ден. ед., занимающие площадь 5 кв. м и обеспечивающие производитель­ность за смену 3 т сортового зерна.

Требуется составить оптимальный план приобретения оборудо­вания, обеспечивающий максимальную общую производитель­ность при условии, что фермер может приобрести не более 8 ма­шин типа В.

Решение. Обозначим через х\, х2 количество машин соот­ветственно типа А и В, через Z - общую производительность. Тогда математическая модель задачи примет вид:

На рис. 8.2 ОКЬМ - область допустимых решений задачи (8.1") - (8.3"), ограниченная прямыми (1), (2), (3) и осями координат; />(2/3; 8) - точка оптимального, но нецелочисленного решения зада­чи (8.1") - (8.3"); (4) - прямая, отсекающая это нецелочисленное решение; 0№М - область допустимых решений расширенной зада­чи (8.1’) - (8.3’), (8.61); М2; 7) - точка оптимального целочисленно­го решения.

I шаг. Основные переменные х3, х4, *5; неосновные перемен­ные Х\, Х2.

Первое базисное решение Х\ = (0; 0; 60; 34; 8) - допустимое. Соответствующее значение линейной функции = 0.

Переводим В основные переменные переменную XI, которая входит в выражение линейной функции с наибольшим поло­жительным коэффициентом. Находим максимально возможное значение переменной хі, которое “позволяет” принять система ограничений, из условия минимума соответствующих отноше­ний:

Хг = 1ШП|т;т;Т| = 8,

т.е. разрешающим (выделенным) является третье уравнение. При *2 = 8 в этом уравнении Х5 = 0, и в неосновные переходит пере­менная Х5.

II шаг. Основные переменные х2, х3, х*; неосновные пере­менные Хь Х5.

Введя дополнительную целочисленную переменную х6 > О, получим равносильное неравенству (8.6") уравнение

~1*5 + Хб = °" ^8"7 ^

Уравнение (8.7") необходимо включить в систему ограничений (8.5") исходной канонической задачи, после чего повторить про­цесс решения задачи симплексным методом применительно к расширенной задаче. При этом для сокращения числа шагов (итераций) рекомендуется вводить дополнительное уравнение (8.7") в систему, полученную на последнем шаге решения задачи (без условия целочисленности).

IV шаг. Основные переменные Х), *2, хз> *б‘> неосновные пе­ременные *1, *2-

Х1 = з - 3*4 +

х3 = 18 + х4 +___ х5,

х6 - + ^х4 + з"х5-

Базисное решение Х4 = (у; 8; 18; 0; 0; -у) - недопусти­мое. (Заметим, что после включения в систему ограничений дополнительного уравнения, соответствующего правильному отсечению, всегда будет получаться недопустимое базисное решение).

Для получения допустимого базисного решения необходи­мо перевести в основные переменную, входящую с положи­тельным коэффициентом в уравнение, в котором свободней член отрицательный, т.е. *1 или х$ (на этом этапе линейную функцию не рассматриваем). Переводим в основные, напри­мер, переменную Х5.

V шаг. Основные переменные Х\, Х2, Х3, Х5; неосновные пере­менные Я], Х£

Получим после преобразований:

ЛГ| = 2 - х4 + 2х6,

*2 = 7 + 2х* ~ 2Х("

х3 = 19 + -х4 + -х6,

*5 = 1 - 2х* + 2Х6’

2 = 25-|х4--|х6.

^5 =(2; 7; 19; 0; 1;0);^ = 25.

Так как в выражении линейной функции нет основных пере­менных с положительными коэффициентами, то Х5 - оптималь­ное решение.

Итак, 2тах = 25 при оптимальном целочисленном решении X* - Х$ =(2; 7; 19; 0; 1; 0), т.е. максимальную производительность 25 т сортового зерна за смену можно получить приобретением 2 машин типа А и 7 машин типа В\ при этом незанятая площадь помещения составит 19 кв. м, остатки денежных средств из выде­ленных равны 0, в резерве для покупки - 1 машина типа В (шестая компонента содержательного смысла не имеет).

Замечание. Для геометрической интерпретации на плос­кости Ох\Хг (см. рис.8.2) отсечения (8.6") необходимо вхо­дящие в него переменные х4 и х$ выразить через перемен­ные XI и х2. Получим (см. 2-е и 3-е уравнения системы ог­раничений (8.5")):

у - у (34 - Зх, - 4х2) - у (8 - х2) £ 0 или х, + 2х2 £ 16.

(см. отсечение прямой (4) на рис 8.2)>

^ 8.2. Имеется достаточно большое количество бревен длиной 3 м. Бревна следует распилить на заготовки двух видов: длиной 1,2 м и длиной 0,9 м, причем заготовок каждого вида должно быть полу­чено не менее 50 шт. и 81 шт. соответственно. Каждое бревно можно распилить на указанные заготовки несколькими способа­ми: 1) на 2 заготовки по 1,2 м; 2) на 1 заготовку по 1,2 м и 2 заго­товки по 0,9 м; 3) на 3 заготовки по 0,9 м. Найти число бревен,

распиливаемых каждым способом, с тем чтобы заготовок любого вида было получено из наименьшего числа бревен.

Решение. Обозначим через х\, хі, хт, число бревен, распили­ваемых соответственно 1,"2-и 3-м способами. Из них можно полу­чить 2хі + *2 заготовок по 1,2 м и 2л\ + Зх2 заготовок по 0,9 м. Общее количество бревен обозначим I. Тогда математическая модель задачи примет вид:

I 2х, + х2 - х4 = 50, будем обозначать его целую часть, т.е. [a ] есть наибольшее целое число k непревосходящее число a .

Дробной частью {a } числа a называется число {a } = a - [a ]. Отметим очевидное свойство дробной части произвольного числа: 0£{a }<1, причем {a } = 0 в том и только в том случае, когда a - целое число.

Пусть x * - опорное решение задачи (1.1), (1.2), не являющееся целочисленным, - его базис и B - соответствующая симплекс-таблица в координатной форме.

Рассмотрим приведенную систему уравнений, отвечающую данному базису (и таблице B ) плана

x * :

Поскольку x j * = 0 при j Îw, то нецелочисленными могут быть лишь величины x 0 * = <c , x * >, x i * , i Îs.

Пусть s - такой индекс (0 £ s £ n ), что число x s * - не целое. Рассмотрим s -ю строку в симплексной таблице B (s -е уравнение в системе (3.2), (3.3)) и составим выражение

Теорема 2 . Если x ÎX * - целочисленный план задачи (1.1), (1.2), то

Доказательство. Используя соотношение

a sj = [a sj ] + {a sj }, j = 0, 1, 2, … , n , из (3.3) при i = s получаем

откуда

В левой части данного неравенства стоит целое число, следовательно, число

также целое. Из того, что x j ³ 0, j Îw, используя свойство дробной части, получаем

т.е. - z s (x ) < 1, или z s (x ) > -1. Учитывая, что z s (x ) - целое, окончательно примем z s (x ) ³ 0.

Следствие. Если x s * (= a s0 ) - нецелое число и Множество X * планов целочисленной задачи (1.1)-(1.3) непусто, то среди чисел {a sj }, j =1, 2, …, n , есть положительные.

В самом деле, все числа {a sj }, очевидно неотрицательны. Допустим, что {a sj } = 0, j = 1, 2, …, n .

Если X * непусто и x * Î X * , то z s (x * )= - {a s0 }, о том, что z s (x * ) - целое число, так как 0 < {a s0 } < 1.

Замечание. В доказательстве теоремы 2 мы воспользовали предположением II о том, что гарантирована целочисленность целевой функции. Действительно в случае s = 0 величина

является целой (при условии, что x Î X * ) лишь тогда когда число x 0 = < c , x > - целое.

Отсюда вытекает

Теорема 3. Если число x s * - нецелое, то неравенство

является правильным отсечением.

Доказательство. Проверим условие отсечения в определении 2. Так как x s * = a s0 , то из того, что x s * - нецелое, получаем неравенство {a s0 } > 0. Поскольку x j * = 0 при j Î w, то

и поэтому вектор x * не удовлетворяет неравенству (3.5). Условие правильности следует из утверждения z s (x ) ³ 0 в теореме 2.

3.3 Первый алгоритм Гомори

Перейдем к изложению первого алгоритма Гомори.

Обозначим задачу (1.1), (1.2) через L 0 . Гомори предложил на первом этапе своего алгоритма находить лексикографический максимум задачи L 0 . Будем обозначать через

x (0) = (x 0 (0), x 1 (0), …, x n (0))

(n+1)-мерный вектор такой, что (x 1 (0), x 2 (0), …, x n (0)) - решение лексикографической задачи L 0 , а x 0 (0) = - значение линейной формы. В тех случаях когда это не вызывает недоразумения, будем называть x (0) - оптимальным планом лексикографической задачи L 0 (хотя по общепринятой терминологии планом называется вектор, составленный из последних n координат вектора x (0)).

Отметим также, что x (0) будет являться опорным планом, а так же строго допустимым псевдопланом задачи L 0 .

Если x(0) - целочисленный вектор, то он, очевидно, и является решением задачи (1.1) - (1.3).

В противном случае отыскивается минимальный индекс s, 0 £ s £ n, для которого величина x s (0) не является целой. Пусть B (0) - симплексная таблица в координатной форме, соответствующая вектору x (0). С помощью коэффициентов s -й строки этой таблицы (т.е. коэффициентов приведенной системы (3.2), (3.3)) приемом, описанным выше, строится правильное отсечение.

Вводится вспомогательная переменная x n +1 и рассматривается задача L 1:

Следующий этап состоит в нахождении лексикографического максимума задачи L 1 . Важным достоинством алгоритма Гомори является тот факт, что начальный допустимый строгий псевдоплан для применения двойственного симплекс-метода к задаче L 1 находится без труда. Действительно, легко видеть, что в качестве такого псевдоплана можно взять вектор

В самом деле, очевидно, что y (1) удовлетворяет (вместе с вектоорм x (0)) ограничениям (3.6), (3.7) задачи L 1 , а из ограничений (3.8) нарушается лишь одно: x n +1 (0)= - {a s 0 } < 0. Кроме того, y (1) является опорным для системы уравнений (3.6), (3.7), поскольку, если - базис плана x (0) то система

линейно независима и служит базисом для y (1). Покажем, что y (1) - строго допустимый псевдоплан. С этой целью построим симплексную таблицу, соответствующую указанному базису вектора y (1). Для этого нужно лишь приписать снизу к таблице B (0) строку

Где w = {j 1 , j 2 , …, j n -m } - список номеров небазисных переменных, соответствующих таблице B (0) опорного плана x (0). Поскольку x (0) - строго допустимый псевдоплан, то всякий столбец b j , j Îw, таблицы B (0) лексикографически положителен: bj > 0, j Îw. Отсюда вытекает, что и в симплексной таблице в координатной форме, отвечающей опорному вектору y (1), всякий столбец (кроме первого, совпадающего с y (1)) лексикографически положителен:

Таким образом, имея в своем распоряжении решение x (0) лексикографической задачи L 0 и соответствующую симплекс таблицу в координатной форме B (0), без каких либо дополнительных вычислений находим начальный строго допустимый псевдоплан y (1) для задачи L 1 и строим соответствующую ему симплексную таблицу в координатной форме.

Может случиться, что лексикографическая задача L 1 не имеет решения. В этом случае решение целочисленной задачи (1.1) - (1.3) следует прекратить поскольку имеет место

Теорема 4. Если в задаче L 1 не существует лексикографического максимума, то множество X * целочисленных точек задачи (1.1) - (1.3) пусто.

Доказательство. Поскольку множество X векторов, удовлетворяющих условиям Ax = b , x ³ 0, согласно предположению I ограничено, то ограниченным является и множество планов задачи L 1 . Поэтому единственной причиной, по которой эта задача может не иметь лексикографического минимума, может быть только то что множество ее планов пусто. Покажем что в таком случае множество X * также пусто.

Предположим противное, т.е. что X * ¹ Æ, и пусть x * = (x 1 * , x 2 * , …, x n *) Î X*. По теореме 2 получаем, что величина

неотрицательна. Но это означает, что вектор = (x 1 * , x 2 * , …, x n * , x n +1 *) является планом задачи L 1 , в противоречие с вышесказанным. Теорема доказана.

Пусть x (1) = (x 0 (1), x 1 (1), …, x n (1), x n +1 (1)) - решение лексикографической задачи L 1 . Отправляясь от задачи L 1 и вектора x (1), аналогичным образом строятся задачи L r , r = 2, 3, …, и решения x (r ) Î Â n +1+r соответствующим им лексикографическим задач.

Заметим, что алгоритм Гомори однозначно определяет последовательность x (r ), r = 0, 1, 2, …, что следует из однозначности выбора s . Обратим так же внимание на то, что индекс s всегда не превосходит n: 0 s n. В самом деле, если все x j (r ) при j = 0, 1, 2, …, n - целые числа, то из теоремы 2 вытекает, что x n +1 (r ), x n +2 (r ), … - также целые.

Если на каком - то шаге r вектор

x (r ) = (x 0 (r ), x 1 (r ), …, x n (r ), …, x n +r (r ))

оказывается целочисленным, то вектор (x 0 (r ), x 1 (r ), …, x n (r )) является решением задачи (1.1) - (1.3). Доказательство этого утверждения очевидно.

Переход от вектора x (r ) к вектору x (r +1) с помощью описанного алгоритма Гомори называется большой итерацией, в отличие от промежуточных итераций двойственного симплекс-метода, которые называются малыми.

Основной вопрос, относящийся к первому алгоритму Гомори таков: всегда ли за конечное число больших итераций можно получить целочисленный вектор x (r ).

Докажем конечность первого Алгоритма Гомори. Будем использовать следующие обозначения:

x (0) = (x 0 (0), x 1 (0), …, x n (0));

где (x 1 (0), …, x n (0)) - решение лексикографической задачи L0, а x (0) = - соответствующее значение линейной формы (целевой функции).

y (1) = (x 0 (0), x 1 (0), …, x n (0), x n +1),

вектор y(1) служит начальным строго довпустимым псевдопланом при решении задачи L1 двойственным симплексным методом в координатной форме: `y (1) = (`y 0 (1), `y 1 (1), …, `y n (1), `y n +1 (1)) - вектор, получающийся из y (1) в результате первой (малой) итерации двойственного симплекс метода в координатной форме.

Аналогично вводятся обозначения

x (r ), y (r + 1), `y (r + 1), r = 1, 2, …

Из свойств двойственного симплекс метода в координатной форме следует

y (r ) >`y (r ) ³ x (r ).

Лемма 1. Пусть s - минимальный индекс, для которого число xs(0) - не целое. Тогда

Доказательство. Поскольку из (3.9) следует y (1) >`y (1), то возможно два случая:

В случае 1 утверждение леммы выполняется тривиально по определению лексикографического порядка.

Рассмотри случай 2. Согласно правилам двойственного симплекс-метода на первой (малой) итерации решения задачи L 1 выводу из числа базисных подлежит переменная x n +1 , поскольку в векторе y (1) x j (0) ³ 0, j Î w, x n +1 < 0. Пусть k Î w - такой индекс, что

Для любого j Î w, если -{a sj } < 0. По правилам симплексного метода в число базисных вводится переменная x k .

Случай 2 возможен лишь при условии b ik = 0, i = 0, 1, 2, …, s - 1. Поскольку x (0) - строго допустимый псевдоплан задачи L 0 , то все ее столбцы b j , j Î w, симплекс таблицы B (0) лексикографически положительны; в частности b k > 0 . Следовательно, координата b sk данного столбца должна быть неотрицательной. Заметим, что b sk = a sk (т.е. 0 £ s £ n и s Î w), по условию (3.10) число a sk - не нуль. Поэтому

a sk > 0 и a sk ³ {a sk }

По формуле преобразования симплекс-таблицы имеем

Вспоминая, что xs(0) = as0, получаем:

.

С учетом (3.11) получим оценку:

Лемма доказана.

Замечание. Если исходная задача (1.1) - (1.3) допустима, то согласно следствию из теоремы 2 индекс k, удовлетворяющий условию (3.10), существует.

Следствие. Справедливо соотношение

Действительно при r = 1 это неравенство вытекает из леммы и второго неравенства (3.9) . Что бы получить это утверждение при произвольном r , нужно воспользоваться тем, что y j (r ) = x j (r ) при 0 £ j £ n , и неравенством y (r ) ³ x (r ) в (3.9).

Теорема 5 . Если выполнены предположения I и II, то первый алгоритм Гомори требует лишь конечного числа больших итераций.

Что бы убедиться в истинности теоремы, необходимо показать, что при некотором r вектор x (r ) = (x 0 (r ), x 1 (r ), …, x n +r (r )) - целочисленный. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать целочисленность вектора (x 0 (r ), x 1 (r ), …, x n (r )), поскольку из теоремы 2 тогда вытекает, что все числа x n +1 (r ), x n +2 (r ), …, x n +r (r ) также целые. Вспомним также, что минимальный индекс s, при котором число xs(r) - нецелое, всегда не превосходит n: 0 £ s £ n. Прежде чем переходить к основному доказательству докажем следующую лемму:

Лемма 2. Для любого j , 0 £ j £ n , существует такой номер R j , что при r ³ R j все числа x j (r ) - целые и равны одному и тому же целому числу x j (R j ).

Доказательство. Пусть s , 0 £ s £ n , - минимальный индекс для которого утверждение Леммы не выполняется. Обозначим

В том случае когда s = 0, положим R = 0.

Пусть r , l - такие индексы, что R £ r £ l, и числа x s (r ), x s (l ) - нецелые. Покажем, что тогда [x s (r )] > [x s (l )]. Действительно по определению s имеем

В таком случае s - минимальный индекс, для которого число x s (r ) - нецелое. По следствию из леммы 1 имеем [x s (r )] ³ x s (l ).

Учитывая, что x s (l ) - не целое число, имеем x s (l ) > [x s (l )], откуда и получаем нужное утверждение. Поскольку множество X планов задачи (1.1) - (1.3) ограничено, то ограничена любая величина x s (r ), 0 £ s £ n , r = 1, 2, … . Поэтому бесконечной цепочки неравенств вида [x s (r )] > [x s (l )] > … существовать не может, а, следовательно, в последовательности x s (r ), r = 0, 1, …, не может быть бесконечно много нецелых чисел. Аналогично доказывается, что в этой последовательности не может быть бесконечно много различных целых чисел.

Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть

где числа R j фигурируют в формулировке леммы 2. Тогда согласно этой лемме все числа x j (R ), 0 £ j £ n , - целые. Из теоремы 2 получаем, что вектор x (R ) - целочисленный. Следовательно алгоритм Гомори требует не более R итераций.

Теорема доказана.

3.5 Замечания по практической реализации первого алгоритма Гомори

При практической реализации первого алгоритма Гомори важной проблемой является нарастание количества ограничений, что ведет к увеличению размеров симплексных таблиц. Гомори предложил способ устранения этого недостатка алгоритма, заключающийся в следующем.

) В ходе решения задачи L r двойственным симплексным методом на каждой малой итерации следует пользоваться уточненным правилом вывода из числа базисных векторов для решения задач линейного программирования симплекс-методом: если в первом столбце симплексной таблицы имеется несколько отрицательных элементов b i 0 (= x i ), i =1, 2, …, n , …, n + r , то выводить из числа базисных надо переменную с минимальным номером.

) Если в ходе очередной малой итерации при реализации задачи L r все основные переменные x 1 , x 2 , …, x n оказались неотрицательными, то дальнейшее применение двойственного симплекс-метода к задаче L r следует прекратить, несмотря на то, что ее лексикографический максимум, быть может, еще не достигнут. Если при этом все переменные x j , j = 1, 2, …, n , оказались целочисленными, то по теореме 2 все вспомогательные переменные x n +k , k = 1, 2, …, r , целочисленны и неотрицательны. Это означает, как уже известно, что вектор (x 0 , x 1 , x 2 , … , x n ) является решением исходной целочисленной задачи. В противном случае переходим к новой большой итерации.

) Строка симплексной таблицы, соответствующая вспомогательной переменной x n +r , удаляется, как только переменная x n +r объявляется небазисной. Напомним, что это происходит на первой же малой итерации решения задачи L r .

) Если в ходе решения задачи L r переменная x n +r вновь попадает в число базисных, то то соответствующая ей строка не восстанавливается.

Понятно, что при выполнении правил 3), 4) размеры симплексной таблицы в первом алгоритме Гомори не увеличиваются - в каждой таблице содержится n + 2 строк, отвечающие основным переменным x 0 , x 1 , … , x n и текущей вспомогательной переменной x n +r в момент ее введения) и n - m +1 столбцов (поскольку число n - m небазисных переменных не меняется).

) На первой малой итерации решения задачи L r +1 в качестве переменной, выводимой из базиса, выбирается именно x n +r +1 , не смотря на то, что значения остальных вспомогательных переменных в этот момент так же могут быть отрицательными.

Заметим, что правило 5) на самом деле избыточно, поскольку при выполнении правил 3) и 4) мы ничего не знаем о значении остальных переменных x n +1 , …, x n +r в момент перехода к задаче L r +1 . Данное правило выделено лишь для того, чтобы подчеркнуть отличие рассматриваемых алгоритмов.

Отметим, что при использовании правила 2) возникающая последовательность x ’ (r ) может не быть лексикографическим максимумом задачи L r , поскольку значения некоторых из вспомогательных переменных могут быть отрицательными.

Тем не менее, для последовательности x ’ (r ), r = 0, 1, 2, …, получаемой с использованием правил 1) и 2), сохраняется важное свойство: эта последовательность единственна.

Осталось лишь доказать, что при использовании правил 1) - 4) алгоритм Гомори остается конечным, поскольку его конечность и будет означать, что он приводит к цели - нахождению целочисленного решения задачи (1.1) - (1.3). В самом деле, конечность числа R больших итераций означает, что вектор x ’ (R ) целочисленный.

Отметим, во-первых, что при использовании правила 2) число малых итераций решения задачи L r конечно - не больше, чем требуется для нахождения ее лексикографического максимума.

Теорема 6. Последовательность x’(r), возникающая в процессе применения алгоритма Гомори, уточненного правила 1) - 4), конечна.

Доказательство. Заметим, что в доказательстве теоремы 5 о конечности последовательности x(r) использовались лишь два обстоятельства, регулирующие возникновение этой последовательности: способ построения правильного отсечения и тот факт, что во всякой текущей симплекс-таблице вс столбцы b j , j Îw, лексикографически положительны. Таким образом, удаление строки, соответствующей вспомогательной переменной, может повлиять лишь на последнее обстоятельство. Этого, однако, так же быть не может, как показано в следующей лемме.

Лемма 3. В любой симплекс-таблице, возникающей в ходе алгоритма Гомори, уточненного правилами 1) - 4), для любого столбца

имеет место неравенство

Доказательство. Допустим, что утверждение леммы не выполняется для некоторого k Î w. Поскольку b k , то данное предположение означает, что

По определению симплексной таблицы в координатной форме, имеем

Для любого x Î R n +1+r , если утверждение леммы нарушается в ходе решения задачи L r . Формула (3.13) с учетом (3.12) означает, что изменение значения переменной x k не влияет на значение x i , i = 0, 1, 2, …, n . Другими словами, при одном и том же наборе величин x i , 0£i £n , переменная x k может принимать произвольное значение. Отсюда следует, во-первых, что k ³ n + 1, а во-вторых, что принятое допущение (3.13) неверно, поскольку поскольку значение любой вспомогательной переменной x k , k ³ n + 1, как вытекает из (3.7), однозначно определяется значениями основных переменных.

Поскольку удаление строк, соответствующих вспомогательных переменным, не влияет на свойство столбцов b j , j Î w, быть лексикографически положительными, то эти строки вообще не нужны. Действительно, с учетом правил 1) - 2) переменная x n +r , попав в число базисных, так и остается базисной до конца вычислений, и ее строка не потребуется для определения переменной, вводимой в базис согласно правилам симплекс-метода.

Таким образом, элементы строки, соответствующие переменной x n +r , не участвуют в формулах двойственного симплекс-метода для вычисления значений всех остальных переменных.

Поскольку, как отмечалось, индекс s , регулирующий формирование правильного отсечения, не превосходит n , 0 £ s £ n , то и для этих целей вспомогательные переменные не потребуются.

4. Реализация на ЭВМ

В данном курсовом проекте программа предназначена для нахождения решения целочисленной задачи линейного программирования методом Гомори.

В программном модуле используется алгоритм описанный в теоретической части с учетом замечаний по практическому применению метода, сделанных Гомори.

Ввод данных в программном модуле производится из файла. Вывод результатов работы программы может производится в файл, на дисплей или на принтер. Формат входного файла:

…

…

…

…

где n - количество переменных, m - количество ограничений, c 1 , c 2 , … , c n - коэффициенты максимизируемой линейной формы, a ij - элементы матрицы A, b j - компоненты вектора b . A, b - характеризуют ограничения [см. (1.2)].

Пример входного файла:

2 5 0 0 0 0 0 0 0

3 1 0 0 0 0 0 0 12

2 5 0 1 0 0 0 0 0 30

3 2 0 0 1 0 0 0 0 22

2 -1 0 0 0 1 0 0 0 12

1 -3 0 0 0 0 1 0 0 0

2 5 0 0 0 0 0 -1 0 10

5 1 0 0 0 0 0 0 -1 5

Список литературы:

1. Абрамов Л.А., Капустин В.Ф. Математическое программирование. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. -328 с.

Белоусова Г.С. Линейное программирование. Учебное пособие. -Красноярск: Наука, 1975. -107 с.

Кузнецов Ю.Н. и др. Математическое программирование: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Высшая школа, 1980. -300 с.

Ашманов С.А., Линейное программирование. М.: Наука. 1969. -240 с

Габасов Р.И. Кириллова Ф.М., Методы линейного программирования. Минск: Наука. 1977. -174 с