Как правильно произносить фалес. Вариации и обобщения

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■

Также существует теорема о пропорциональных отрезках :

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки : $$

\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{A_1A_3}{B_1B_3}.

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Таким образом (см. рис.) из того, что $\backslash frac\{CB\_1\}\{CA\_1\}=\backslash frac\{B\_1B\_2\}\{A\_1A\_2\}=\backslash ldots\; =\; \{\backslash rm\; idem\}$ следует, что прямые $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Вариации и обобщения

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга. Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла . Напишите отзыв о статье "Теорема Фалеса" Литература Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7-9. - Изд. 3-е. - М .: Просвещение, 1992. Примечания См. также Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности Отрывок, характеризующий Теорема Фалеса – Я ничего не думаю, я только не понимаю этого… – Подожди, Соня, ты всё поймешь. Увидишь, какой он человек. Ты не думай дурное ни про меня, ни про него. – Я ни про кого не думаю дурное: я всех люблю и всех жалею. Но что же мне делать? Соня не сдавалась на нежный тон, с которым к ней обращалась Наташа. Чем размягченнее и искательнее было выражение лица Наташи, тем серьезнее и строже было лицо Сони. – Наташа, – сказала она, – ты просила меня не говорить с тобой, я и не говорила, теперь ты сама начала. Наташа, я не верю ему. Зачем эта тайна? – Опять, опять! – перебила Наташа. – Наташа, я боюсь за тебя. – Чего бояться? – Я боюсь, что ты погубишь себя, – решительно сказала Соня, сама испугавшись того что она сказала. Лицо Наташи опять выразило злобу. – И погублю, погублю, как можно скорее погублю себя. Не ваше дело. Не вам, а мне дурно будет. Оставь, оставь меня. Я ненавижу тебя. – Наташа! – испуганно взывала Соня. – Ненавижу, ненавижу! И ты мой враг навсегда! Наташа выбежала из комнаты. Наташа не говорила больше с Соней и избегала ее. С тем же выражением взволнованного удивления и преступности она ходила по комнатам, принимаясь то за то, то за другое занятие и тотчас же бросая их. Как это ни тяжело было для Сони, но она, не спуская глаз, следила за своей подругой. Накануне того дня, в который должен был вернуться граф, Соня заметила, что Наташа сидела всё утро у окна гостиной, как будто ожидая чего то и что она сделала какой то знак проехавшему военному, которого Соня приняла за Анатоля. Соня стала еще внимательнее наблюдать свою подругу и заметила, что Наташа была всё время обеда и вечер в странном и неестественном состоянии (отвечала невпопад на делаемые ей вопросы, начинала и не доканчивала фразы, всему смеялась). После чая Соня увидала робеющую горничную девушку, выжидавшую ее у двери Наташи. Она пропустила ее и, подслушав у двери, узнала, что опять было передано письмо. И вдруг Соне стало ясно, что у Наташи был какой нибудь страшный план на нынешний вечер. Соня постучалась к ней. Наташа не пустила ее. «Она убежит с ним! думала Соня. Она на всё способна. Нынче в лице ее было что то особенно жалкое и решительное. Она заплакала, прощаясь с дяденькой, вспоминала Соня. Да это верно, она бежит с ним, – но что мне делать?» думала Соня, припоминая теперь те признаки, которые ясно доказывали, почему у Наташи было какое то страшное намерение. «Графа нет. Что мне делать, написать к Курагину, требуя от него объяснения? Но кто велит ему ответить? Писать Пьеру, как просил князь Андрей в случае несчастия?… Но может быть, в самом деле она уже отказала Болконскому (она вчера отослала письмо княжне Марье). Дяденьки нет!» Сказать Марье Дмитриевне, которая так верила в Наташу, Соне казалось ужасно. «Но так или иначе, думала Соня, стоя в темном коридоре: теперь или никогда пришло время доказать, что я помню благодеяния их семейства и люблю Nicolas. Нет, я хоть три ночи не буду спать, а не выйду из этого коридора и силой не пущу ее, и не дам позору обрушиться на их семейство», думала она. Анатоль последнее время переселился к Долохову. План похищения Ростовой уже несколько дней был обдуман и приготовлен Долоховым, и в тот день, когда Соня, подслушав у двери Наташу, решилась оберегать ее, план этот должен был быть приведен в исполнение. Наташа в десять часов вечера обещала выйти к Курагину на заднее крыльцо. Курагин должен был посадить ее в приготовленную тройку и везти за 60 верст от Москвы в село Каменку, где был приготовлен расстриженный поп, который должен был обвенчать их. В Каменке и была готова подстава, которая должна была вывезти их на Варшавскую дорогу и там на почтовых они должны были скакать за границу. У Анатоля были и паспорт, и подорожная, и десять тысяч денег, взятые у сестры, и десять тысяч, занятые через посредство Долохова. Два свидетеля – Хвостиков, бывший приказный, которого употреблял для игры Долохов и Макарин, отставной гусар, добродушный и слабый человек, питавший беспредельную любовь к Курагину – сидели в первой комнате за чаем. В большом кабинете Долохова, убранном от стен до потолка персидскими коврами, медвежьими шкурами и оружием, сидел Долохов в дорожном бешмете и сапогах перед раскрытым бюро, на котором лежали счеты и пачки денег. Анатоль в расстегнутом мундире ходил из той комнаты, где сидели свидетели, через кабинет в заднюю комнату, где его лакей француз с другими укладывал последние вещи. Долохов считал деньги и записывал. – Ну, – сказал он, – Хвостикову надо дать две тысячи. – Ну и дай, – сказал Анатоль. – Макарка (они так звали Макарина), этот бескорыстно за тебя в огонь и в воду. Ну вот и кончены счеты, – сказал Долохов, показывая ему записку. – Так? – Да, разумеется, так, – сказал Анатоль, видимо не слушавший Долохова и с улыбкой, не сходившей у него с лица, смотревший вперед себя.

(она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Доказательство в случае секущих

Ошибка создания миниатюры: Файл не найден

Доказательство теоремы Фалеса

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): AA_1||BB_1||CC_1||DD_1 и при этом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): AB=CD .

1. Проведём через точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): C прямые, параллельные другой стороне угла. Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): AB_2B_1A_1 и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): CD_2D_1C_1 . Согласно свойству параллелограмма: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): AB_2=A_1B_1 и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): CD_2=C_1D_1 .
2. Треугольники Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bigtriangleup ABB_2 и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bigtriangleup CDD_2 равны на основании второго признака равенства треугольников
   

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■

Также существует теорема о пропорциональных отрезках :

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки : Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{A_1A_2}{B_1B_2}=\frac{A_2A_3}{B_2B_3}=\frac{A_1A_3}{B_1B_3}.

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{CB_1}{CA_1}=\frac{B_1B_2}{A_1A_2}=\ldots = {\rm idem} следует, что прямые Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A_1B_1||A_2B_2||\ldots .

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Вариации и обобщения

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :

Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f - проективное соответствие между точками прямой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): l и прямой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m . Тогда множество прямых Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Xf(X) будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Теорема Фалеса в культуре

Аргентинская музыкальная группа Les Luthiers представила песню, посвящённую теореме .

• Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.
• Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .

Напишите отзыв о статье "Теорема Фалеса"

Литература

• Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7-9. - Изд. 3-е. - М .: Просвещение, 1992.

Примечания

См. также

• Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности

Отрывок, характеризующий Теорема Фалеса

Я не поняла, куда девалась вся моя усталость, и почему это я вдруг совершенно забыла данное себе минуту назад обещание не вмешиваться ни в какие, даже самые невероятные происшествия до завтрашнего дня, или хотя бы уж, пока хоть чуточку не отдохну. Но, конечно же, это снова срабатывало моё ненасытное любопытство, которое я так и не научилась пока ещё усмирять, даже и тогда, когда в этом появлялась настоящая необходимость...
Поэтому, стараясь, насколько позволяло моё измученное сердце, «отключиться» и не думать о нашем неудавшемся, грустном и тяжёлом дне, я тут же с готовностью окунулась в «новое и неизведанное», предвкушая какое-нибудь необычное и захватывающее приключение...
Мы плавно «притормозили» прямо у самого входа в потрясающий «ледяной» мир, как вдруг из-за сверкавшего искрами голубого дерева появился человек... Это была очень необычная девушка – высокая и стройная, и очень красивая, она казалась бы совсем ещё молоденькой, почти что если бы не глаза... Они сияли спокойной, светлой печалью, и были глубокими, как колодец с чистейшей родниковой водой... И в этих дивных глазах таилась такая мудрость, коей нам со Стеллой пока ещё долго не дано было постичь... Ничуть не удивившись нашему появлению, незнакомка тепло улыбнулась и тихо спросила:
– Что вам, малые?
– Мы просто рядом проходили и захотели на вашу красоту посмотреть. Простите, если потревожили... – чуть сконфузившись, пробормотала я.
– Ну, что вы! Заходите внутрь, там наверняка будет интереснее... – махнув рукой в глубь, опять улыбнулась незнакомка.
Мы мигом проскользнули мимо неё внутрь «дворца», не в состоянии удержать рвущееся наружу любопытство, и уже заранее предвкушая наверняка что-то очень и очень «интересненькое».
Внутри оказалось настолько ошеломляюще, что мы со Стеллой буквально застыли в ступоре, открыв рты, как изголодавшиеся однодневные птенцы, не в состоянии произнести ни слова...
Никакого, что называется, «пола» во дворце не было... Всё, находящееся там, парило в искрящемся серебристом воздухе, создавая впечатление сверкающей бесконечности. Какие-то фантастические «сидения», похожие на скопившиеся кучками группы сверкающих плотных облачков, плавно покачиваясь, висели в воздухе, то, уплотняясь, то почти исчезая, как бы привлекая внимание и приглашая на них присесть... Серебристые «ледяные» цветы, блестя и переливаясь, украшали всё вокруг, поражая разнообразием форм и узорами тончайших, почти что ювелирных лепестков. А где-то очень высоко в «потолке», слепя небесно-голубым светом, висели невероятной красоты огромнейшие ледяные «сосульки», превращавшие эту сказочную «пещеру» в фантастический «ледяной мир», которому, казалось, не было конца...
– Пойдёмте, гостьи мои, дедушка будет несказанно рад вам! – плавно скользя мимо нас, тепло произнесла девушка.
И тут я, наконец, поняла, почему она казалась нам необычной – по мере того, как незнакомка передвигалась, за ней всё время тянулся сверкающий «хвост» какой-то особенной голубой материи, который блистал и вился смерчами вокруг её хрупкой фигурки, рассыпаясь за ней серебристой пыльцой...
Не успели мы этому удивиться, как тут же увидели очень высокого, седого старца, гордо восседавшего на странном, очень красивом кресле, как бы подчёркивая этим свою значимость для непонимающих. Он совершенно спокойно наблюдал за нашим приближением, ничуть не удивляясь и не выражая пока что никаких эмоций, кроме тёплой, дружеской улыбки.
Белые, переливающиеся серебром, развевающиеся одежды старца сливались с такими же, совершенно белыми, длиннющими волосами, делая его похожим на доброго духа. И только глаза, такие же таинственные, как и у нашей красивой незнакомки, потрясали беспредельным терпением, мудростью и глубиной, заставляя нас ёжиться от сквозящей в них бесконечности...
– Здравы будете, гостюшки! – ласково поздоровался старец. – Что привело вас к нам?
– И вы здравствуйте, дедушка! – радостно поздоровалась Стелла.
И тут впервые за всё время нашего уже довольно-таки длинного знакомства я с удивлением услышала, что она к кому-то, наконец, обратилась на «вы»...
У Стеллы была очень забавная манера обращаться ко всем на «ты», как бы этим подчёркивая, что все ею встреченные люди, будь то взрослый или совершенно ещё малыш, являются её добрыми старыми друзьями, и что для каждого из них у неё «нараспашку» открыта душа... Что конечно же, мгновенно и полностью располагало к ней даже самых замкнутых и самых одиноких людей, и только очень чёрствые души не находили к ней пути.
– А почему у вас здесь так «холодно»? – тут же, по привычке, посыпались вопросы. – Я имею в виду, почему у вас везде такой «ледяной» цвет?
Девушка удивлённо посмотрела на Стеллу.
– Я никогда об этом не думала... – задумчиво произнесла она. – Наверное, потому, что тепла нам хватило на всю нашу оставшуюся жизнь? Нас на Земле сожгли, видишь ли...

Великий физик начала двадцатого века Эрнест Резерфорд высказался так: «Вся наука - это либо физика, либо коллекционирование марок». В предыдущей статье мы с Вами как раз убедились в том, что физика и собирание фактов находятся на разных полюсах развития моделей. А сегодня у нас с Вами первый экскурс в прошлое.

Начнем с Фалеса Милетского, ибо по мнению историков именно он заложил первый кирпич в основание здания современной науки.

Небольшое отступление по поводу собственно имени героя нашего сегодняшнего повествования. Не знаю, как у Вас, а мне лично в советской школе преподавали теорему Фалеса с ударением на первом слоге. На самом деле изначальное греческое Θαλῆς имеет на первом месте букву Θ, что на греческом произносится как английское th в think. Эта буква (фита) в чистом виде присутствовала в русском языке до 1918, пока ее не сократили вкупе с ятью и ижицей. После реформы ее заменяли как рука возьмет - обычно как Ф (в данном случае), но часто и как Т (теория, тезис, театр). Кстати, упомянутый выше Резерфорд - это на самом деле Rutherford, что на русском становится по воле переводчика то Рутерфордом, то Ротерфордом, то Русерфордом. Со вторым слогом Фа-лес у в России совсем не повезло. Вам любой грек скажет, что это произносится «-лис», а не «-лес» (вообще в греческом языке, как известно, пять букв «и» приходится на несчастную парочку «е» - одна из которых эпсилон), к тому же именно на этот слог падает ударение.

С Милетом все значительно проще, обошлись заменой очередного «и» на «е». Город этот располагался на побережье Малой Азии, может кто на тот дальний берег турецкий ездил отдыхать? Основали его по легенде выходцы (или беженцы) с Крита, и нарекли в честь Милитуса, сына Аполлона и критской красавицы. В описываемые нами времена (шесть сотен лет до нашей эры) это был самый богатый город эллинистического мира с многочисленными колониями - самая известная для нас из которых город Феодосия (опять же изначально с фитой). Греками к этому времени уже была построена настоящая цивилизация - и одним из следствий этого было то, что у отдельных индивидумов стало оставаться время от тупой борьбы за существование.

Фалес был одним из таких счастливчиков - сыном богатых родителей. Секунду - вот это не случайно. В ту далекую эпоху наукой заработать себе на жизнь было непросто, не было тебе не только нобелевских премий, но и даже теплых местечек в многочисленных университетах или НИИ. В философы (а это тогда был синоним ученого) шли почти исключительно люди, которые уже предварительно решили для себя все материальные проблемы. Почему почти - поскольку спустя пару столетий наука стала настолько уважаться (и в этом во многом заслуга Фалеса), что за мудрость стали платить некоторые деньги (например, для целей образования золотой молодежи). Тем не менее если сосчитать всех древнегреческих философов, то их будет числом поменьше, чем младших научных сотрудников в любом нашем провинциальном ВУЗе. Вот только пользы от них было куда побольше - не из-за правильной мотивации ли? Они ведь алкали истины и знания, а не тринадцатой зарплаты.

Тем не менее родительские деньги Фалес судя по всему промотал … на науку, за которой он отправился из Милета в Египет, типа как наш Ломоносов из Холмогор в Москву. Во всяком случае известно, что по возвращению домой над ним издевались - мол, какой прок от твоей учености. Своих простодушных критиков Фалес поставил на место следующим образом.

Высчитав (непонятным образом) по звездам, что ожидается большой урожай оливков, он заранее скупил все прессы в округе, а потом, сдавая их в аренду по спекулятивной цене, заработал на этом себе целое состояние.

Сила человека (его интеллекта) в умении предвидеть (а иногда и создать) будущее, комбинируя известные ему модели. Настоящую известность принесло Фалесу предсказанное им солнечное затмение, которое даже остановило войну между лидийцами и мидянами. Пришлось древнегреческим горячим парням поспешно заключить мир, дабы боги сменили гнев на милость. С богами все обошлось, как Вы уже догадались.

Помочь предугадать солнечное затмение Фалесу могло знание так называемого сароса или драконического периода (примерно каждые 18 лет луна и солнце в точности повторяют свое местоположение). Об этом знали халдеи (Вавилон) и египтяне. Это в нашей терминологии модель каузальной фазы - то есть работает, но непонятно почему. Вообщем-то с точки зрения прагматики это и неважно, хоть на кофейной гуще гадай (или как тогда было модно - изучая потроха домашних животных или консультируясь с оракулами), лишь бы был требуемый результат.

Так что учился человек как видите не зря. Однако там, в Египте, его обучали жрецы в храмах после ритуалов посвящений. А он, вернувшись домой, в русле своего демократического мировоззрения (а он ведь был на короткой ноге с легендарным законодателем Афин Солоном) начал раздавать священное знание налево и направо, кому попало. На манер Прометея. И не оказалось в окрестностях ни единого Зевса его за это наказать.