Графические методы. Графический метод решения задач

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1) ;
(1.2)
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1) .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3) .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Условие задачи

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 10 м, третьего вида - 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В - 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

(П1.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Условие задачи

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

Пример отсутствия решения

Условие задачи

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда в ЗЛП включены ровно две переменные:

Каждое из неравенств (a)-(b) системы ограничений задачи (3.8) геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми , Х 1 =0 и Х 2 =0. Каждая из граничных прямых делит плоскость х 1 Ох 2 на две полуплоскости. Все решения исходного неравенства лежат в одной из образованных полуплоскостей (все точки полуплоскости) и, следовательно, при подстановке координат любой ее точки в соответствующее неравенство обращает его в верное тождество. С учетом этого и определяется та полуплоскость, в которой лежат решения неравенства, т.е. путем выбора любой точки из какой-либо полуплоскости и подстановки ее координат в соответствующее неравенство. Если неравенство выполняется для данной точки, то оно выполняется и для любой другой точки из этой же полуплоскости. В противном случае решения неравенства лежат в другой полуплоскости.

В том случае, если система неравенств (a)-(b) совместна, то область её решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей выпуклое, то область допустимых решений задачи (3.8) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений (введённый ранее термин “многогранник решений” обычно употребляется, если n 3). Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.

Таким образом, исходная ЗЛП состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает максимальное (минимальное) значение.

Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нём целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины строят линию уровня L: c 1 x 1 +c 2 x 2 =h (где h – некоторая постоянная), перпендикулярную вектору-градиенту и проходящую через многоугольник решений, и передвигают её параллельно вдоль вектора-градиента до тех пор, пока она не пройдёт через последнюю её общую точку пересечения с многоугольником решений (при построении вектора-градиента откладывают точку (с 1 ; с 2) в плоскости х 1 Ох 2 и проводят к ней из начала координат направленный отрезок). Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.

Суммируя все выше изложенное, приведем алгоритм графического метода решения ЗЛП.

Алгоритм графического метода решения ЗЛП

1. Построить многоугольник решений, задаваемый системой ограничений исходной ЗЛП.

2. Если построенный многоугольник решений – пустое множество, то исходная ЗЛП решений не имеет. В противном случае построить вектор-градиент и провести произвольную линию уровня L, перемещая которую при решении задачи на максимум в направлении вектора (или в обратном направлении для задачи на минимум) определить крайнюю точку многоугольника решений, где и достигается максимум (минимум) целевой функции задачи.

3. Вычислить координаты найденной оптимальной точки , решив систему уравнений двух граничных прямых, пересекающихся в ней.

4. Подстановкой найденного оптимального решения в целевую функцию задачи вычислить оптимальное ее значение, т.е.: .

При графическом построении множества допустимых решений ЗЛП (многоугольника решений) возможны следующие ситуации.

Наиболее простым и наглядным методом линейного программирования (ЛП) является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными. Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме:

max f(x 1 , x 2 , ..., x n) = ,

, i = 1, 2, …, m,

x j 0, j = 1, 2, …, n.

Положим n=2 и будем рассматривать задачу на плоскости. Пусть система неравенств совместна (имеет хотя бы одно решение).

Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а i 1 х 1 + а i 2 х 2 = b i , i = 1, 2,…, m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с гра­ничными прямыми х 1 = 0, х 2 = 0 соответственно. Система со­вместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, где ко­ординаты каждой точки являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограни­ченным многоугольником.

Таким образом, геометрически ЗЛП представляет собой отыс­кание такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют линейной функции цели максимальное (минимальное) значение, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую об­ласть на плоскости. Определим, какую часть плоскости описыва­ет неравенство 2х 1 + Зх 2 12.

Во-первых, построим прямую 2х 1 + Зх 2 = 12. Она проходит через точки (6; 0) и (0; 4). Для того чтобы определить, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству, необходимо выбрать любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет вы­полняться, то данная точка является допустимым решением, и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать точку начала координат. Подставим х 1 = х 2 = 0 в неравенство 2х 1 + Зх 2 12. Получим 2х0 + 3х0 12. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству 2х 1 + Зх 2 12 соответствует нижняя полуплоскость, содержащая точку (0; 0). Это отражено на графике, изображенном на рис. 1.1.

Аналогично графически можно изобразить все ограничения задачи ЛП.

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений, или областью определения. Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (х j 0, j = 1, 2, …, n). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении задач ЛП используют вектор-гради­ент, координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е.

Этот вектор показывает направление наискорейшего измене­ния целевой функции. Прямая с 1 х 1 + с 2 х 2 = f(х 0) , перпендикуляр­ная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции. В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине «а» . Меняя значение «а», получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уро­вень только возрастает, а при смещении в другую сторону - только убывает.

С геометрической точки зрения в задаче линейного программи­рования ищется такая угловая точка или набор точек из допусти­мого множества решений, на котором достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше (ближе) осталь­ных в направлении наискорейшего роста.

Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

1. Строится многоугольная область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.

2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) в какой-нибудь точке х 0 , принадлежащей ОДР:

3. Линия уровня с 1 х 1 + с 2 х 2 = а (а - постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору-градиенту , - передви­гается в направлении этого вектора в случае максимизации f(x 1 , х 2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точ­кой максимума f(x 1 , х 2).

4. Для нахождения координат точки максимума достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствую­щих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение f(x 1 , х 2), найденное в получаемой точке, является мак­симальным.

При минимизации (максимизации) функции f(x 1 , х 2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимум (максимум) функ­ции f(x 1 , х 2) не существует.

Если линия уровня параллельна какому-либо функциональ­ному ограничению задачи, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП. Возможные ситуации графического решения задач ЛП представлены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

№	Вид ОДР	Вид оптимального решения	Примечания
	Многоугольная замкнутая	Единственное решение
	Единственное решение
	Многоугольная	ЦФ не ограничена снизу
	ЦФ не ограничена сверху
	Многоугольная незамкнутая	Единственное решение
	Бесконечное множество решений
	Отрезок	Единственное решение

Рассмотрим графическое решение задач линейного программирования на следующем примере.

Пример 1.1. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия (задача о костюмах).

Намечается выпуск двух видов костюмов – мужских и женских. На женский костюм требуется 1м шерсти, 2м лавсана и 1 чел./день трудозатрат. На мужской костюм – 3,5м шерсти, 0,5м лавсана и 1 чел./день трудозатрат. Всего имеется 350м шерсти, 240м лавсана и 150 чел./дней трудозатрат. Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского – 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Введем следующие обозначения: х 1 - число женских костюмов; х 2 – число мужских костюмов. Прибыль от реализации женских костюмов составляет 10х 1 , а от реализации мужских - 20х 2 , т.е. необходимо максимизировать целевую функцию:

10х 1 + 20х 2

Ограничения задачи имеют вид:

х 1 + х 2 150,

2 х 1 + 0,5х 2 240,

х 1 + 3,5х 2 350,

х 2 60,

х 1 0.

Первое ограничение по труду х 1 + х 2 150. Прямая х 1 + х 2 = 150 проходит через точки (150; 0) и (0; 150) (рис. 1.2).

Второе ограничение по лавсану 2 х 1 + 0,5х 2 240. Прямая 2 х 1 + 0,5х 2 = 240 проходит через точки (120; 0) и (0; 480). Третье ограничение по шерсти х 1 + 3,5х 2 350. Добавим четвертое ограничение по количеству мужских костюмов х 2 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х 2 = 60. На рис. 1.3 заштрихована область допустимых решений. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е.

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10;20) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном направлении. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору . Так, на рис. 1.4 изображен вектор-градиент (30;60).

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е.

В нашем случае движение линии уровня будем осуществлять до ее выхода из области допустимых решений. В крайней, угловой, точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пере­сечении точку максимума:

х 1 + 3,5х 2 = 350,

х 1 + х 2 = 150.

Отсюда легко записать решение исходной ЗЛП: max f(x) = 2300 и достигается при х 1 = 70 и х 2 = 80 (см. рис. 1.4).

1.3.ТЕХНОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ НАДСТРОЙКИ ПОИСК РЕШЕНИЯ В СРЕДЕ EXCEL

1.3.1. Общие сведения о работе с табличным процессором Excel

Рассмотрим некоторые аспекты работы с табличным процессором Excel, которые позволят упростить расчеты, необ­ходимые для решения оптимизационных задач. Табличный процессор - это программный продукт, предназначенный для ав­томатизации обработки данных табличной формы.

Элементы экрана Excel. После запуска Excel на экране появля­ется таблица, вид которой показан на рис 1.5.

Это изображение называют рабочим листом. Оно представляет собой сетку строк и столбцов, пересечения которых образуют пря­моугольники, называемые ячейками. Рабочие листы предназначены для ввода данных, выполнения расчетов, организации информа­ционной базы и т.п. Окно Excel отображает основные программные элементы: строку заголовка, строку меню, строку состояния, кноп­ки управления окнами.

Работа с формулами. В программах электронных таблиц формулы служат для выполнения множества разнообразных расчетов. С помощью Excel можно быстро создать формулу. Формула состоит из трех основных частей:

1) знака равенства;

2) совокупности значений или ссылок на ячейках, с которыми выполняются расчеты;

3) операторов.

4) Если знак равенства отсутствует, то Excel интерпретирует данные не как формулу, а как ввод данных в ячейку. Формулы можно вводить непосредственно в ячейку или в строку формул – как текст, так и число. При этом нужно выполнить следующие действия:

· выделить ячейку, которая должна содержать формулу и ввести знак (=);

· ввести оператор или знак действия;

· выделить другую ячейку, включаемую в формулу;

· нажать на клавишу Enter.

В строке формул появится введенная формула, в ячейке – результат расчета.

Использование в формулах функций. Чтобы облегчить ввод формул, можно воспользоваться функциями Excel. Функции - это встроенные в Excel формулы. Excel содержит множество формул. Они сгруппированы по различным типам: логические, математи­ческие, инженерные, статистические и др.

Для активизации той или иной формулы следует нажать кноп­ки Вставка, Функции. В появившемся окне Мастер функций слева содержится перечень типов функций. После выбора типа справа будет помещен список самих функций. Выбор функции осуществ­ляется щелчком клавиши мыши на соответствующем названии.

Различные функции выполняют разные типы вычислений по определенным правилам. Когда функция является единичным объектом в ячейке рабочего листа, она начинается со знака (=), далее следует название функции, а затем - аргументы функции, заключенные в скобки.

Поиск решения - это надстройка Excel, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Если в меню Сервис отсутствует коман­да Поиск решения, значит, необходимо загрузить эту надстройку. Выберите команду Сервис => Надстройки и активизируйте над­стройку Поиск решения. Если же этой надстройки нет в диалоговом окне Надстройки, то вам необходимо обратиться к панели управления Windows, щелкнуть на пиктограмме Установка и уда­ление программ и с помощью программы установки Excel (или Office) установить надстройку Поиск решения.

После выбора команд Сервис => Поиск решения появится диало­говое окно Поиск решения.

В диалоговом окне Поиск решения есть три основных пара­метра;

Установить целевую ячейку.

Изменяя ячейки.

Ограничения.

Сначала нужно заполнить поле Установить целевую ячейку. Во всех задачах для средства Поиск решения оптимизируется результат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных решений. Можно выбрать по­иск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или установить конкретное значение.

Второй важный параметр средства Поиск решения - это пара­метр Изменяя ячейки. Здесь указываются ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать ре­зультат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. К этим ячейкам предъявляется два основ­ных требования: они не должны содержать формул и изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целе­вой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависит от изменя­емых ячеек.

Третий параметр, который нужно вводить на вкладке Поиск решения, - это ограничения.

Для решения задачи необходимо:

1) указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат реше­ния (изменяемые ячейки);

2) ввести исходные данные;

3) ввести зависимость для целевой функции;

4) ввести зависимости для ограничении,

5) запустить команду Поиск решений;

6) назначить ячейку для целевой функции (установить целевую ячейку);

7) ввести ограничения;

8) ввести параметры для решения ЗЛП.

Рассмотрим технологию решения, используя условия примера 1.1 (задача о костюмах).

Экономико-математическая модель задачи

Пусть х 1 - число женских костюмов; х 2 - число мужских костюмов,

10 х х 1 + 20 х х 2 max

Ограничения задачи имеют вид:

х 1 + х 2 150 - ограничение по труду;

2 x х 1 + 0,5 х х 2 240 - ограничение по лавсану;

х 1 + 3,5 х х 2 350 - ограничение по шерсти;

х 2 60 - ограничение по мужским костюмам;

х 1 0 - ограничение по женским костюмам.

1. Указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

Обозначьте через x 1 , х 2 количество костюмов каждого типа. В нашей задаче оптимальные значения вектора = (х 1 , х 2) будут помещены в ячейках А2:В2, оптимальное значение целевой функ­ции - в ячейке СЗ.

2. Ввести исходные данные.

Введите исходные данные задачи, как показано на рис. 1.6.

3. Ввести зависимость для целевой функции.

· Поместить курсор в ячейку «СЗ», произойдет выделение ячейки.

· Поместить курсор на кнопку Мастер функций, расположенную на панели инструментов.

· Ввести Enter. На экране появляется диалоговое окно Мастер функ­ций шаг 1 из 2.

· В окне Функции выбрать строку СУММПРОИЗВ (рис. 1.7). На экране

· появляется диалоговое окно СУММПРОИЗВ (рис. 1.8).

· В строку Массив 1 ввести А2:В2 .

· В строку Массив 2 ввести АЗ:ВЗ.

Массив 1 будет использоваться при вводе зависимостей для ограничений, поэтому на этот массив надо сделать абсолютную ссылку. На рис. 1.9 показано, что в ячейку СЗ введена функция.

5. Ввести зависимости для ограничений (рис 1.10).

· Поместить курсор в ячейку СЗ.

· На панели инструментов кнопка Копировать в буфер.

· Поместить курсор в ячейку С4.

· Поместить курсор в ячейку С5.

· На панели инструментов кнопка Вставить из буфера.

· Поместить курсор в ячейку Сб.

· На панели инструментов кнопка Вставить из буфера.

· Поместить курсор в ячейку С7.

· На панели инструментов нажать кнопку Вставить из буфера. (Содержимое ячеек С4-С7 необходимо проверить. Они обяза­тельно должны содержать информацию, как это показано для примера на рис. 1.11; в качестве примера представлено содер­жимое ячейки С5.)

· В строке Меню указатель мышки поместить на Сервис. В развер­нутом меню выбрать команду Поиск решения. Появляется диа­логовое окно Поиск решения (рис. 1.12).

5. Запустить команду Поиск решения.

6. Назначить ячейку для целевой функции (установить целевую ячейку), указать адреса изменяемых ячеек.

· Поместить курсор в строку Установить целевую ячейку.

· Ввести адрес ячейки $С$3.

· Ввести тип целевой функции в зависимости от условия вашей задачи. Для этого отметьте, чему равна целевая функция - Максимальному значению или Минимальному значению.

· Поместить курсор в строку Изменяя ячейки.

· Ввести адреса искомых переменных А$2:В$2 (рис. 1.13).

7. Ввести ограничения.

· Поместить указатель мыши на кнопку Добавить. Появляется диалоговое окно Добавление ограничения.

· Ввести знак ограничения.

· В строке Ограничение ввести адрес $D$4 (рис. 1.14).

· Поместить указатель мыши на кнопку Добавить. На экране вновь появится диалоговое окно Добавление ограничения.

· Ввести остальные ограничения задачи по вышеописанному алгоритму.

· После введения последнего ограничения нажать на кнопку ОК. На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенны­ми условиями (рис. 1.15).

8. Ввести параметры для решения задачи линейного программирования.

· В диалоговом окне поместить указатель мышки на кнопку Пара­метры. На экране появится диалоговое окно Параметры поиска решения (рис. 1.16).

· Установить флажки в окнах Линейная модель (это обеспечит применение симплекс-метода) и Неотрицательные значения.

· Поместить указатель мыши на кнопку ОК. На экране появится диалоговое окно Поиск решения.

· Поместить указатель Мыши на кнопку Выполнить.

Через непродолжительное время появятся диалоговое окно Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками АЗ:ВЗ для значений х i и ячейка СЗ с максимальным значением целевой функции (рис. 1.17).

Если указать тип отчета Устойчивость, то можно получить до­полнительную информацию об оптимальном решении (рис. 1.18).

В результате решения задачи был получен ответ: необходимо сшить 70 шт. женских костюмов и 80 шт. мужских костюмов, чтобы получить максимальную прибыль 2300 у.е.

1.4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

В 1975 г. наш соотечественник Л.В. Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике (совместно с американским экономистом Т. Купмансом) за разработку теории оптимального использования ресурсов (см. Приложение 1).

С каждой задачей линейного программирования тесно связа­на другая линейная задача, называемая двойственной; первона­чальная задача называется исходной, или прямой. Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Переменные двойственной задачи y i называются объективно обусловленными оценками, или двойственными оценками, или «ценами» ресурсов, или теневыми ценами.

Каждая из задач двойственной пары фактически является са­мостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1) целевая функция исходной задачи формулируется на макси­мум, а целевая функция двойственной задачи - на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в функцио­нальных ограничениях имеют вид (), в задаче на минимум - вид ( );

2) матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная мат­рица А Т в двойственной задаче получаются друг из друга транс­понированием;

3) число переменных в двойственной задаче равно числу функци­ональных ограничений исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи - числу переменных в исходной;

4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции двой­ственной задачи являются свободные члены в системе ограни­чений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи - коэффициенты при неизвестных в це­левой функции исходной; j 0.

Две приведенные задачи образуют пару симметричных двой­ственных задач. Основные утверждения о взаимно двойственных задачах содержатся в двух следующих теоремах.

Первая теорема двойственности. Для взаимно двойственных за­дач имеет место один из взаимоисключающих случаев.

1. В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения,
при этом значения целевых функций на оптимальных решениях
совпадают

2. В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество.

3. В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целе­вая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым.

4. Обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые мно­жества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей неже­сткости). Пусть = (x 1 ,х 2 ,..., х п) - допустимое решение прямой задачи, a = (у 1 ,у 2 ,…,у т) - допустимое решение двойственной задачи. Для того чтобы они были оптимальными решениями соот­ветственно прямой и двойственной задач, необходимо и достаточ­но, чтобы выполнялись следующие соотношения:

(1.4)

(1.5)

Условия (1.4) и (1.5) позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимно двойственных задач, найти оптимальное реше­ние другой задачи.

Рассмотрим еще одну теорему, выводы которой будут исполь­зованы в дальнейшем.

Теорема об оценках. Значения переменных y i в оптимальном реше­нии двойственной задачи представляют собой оценки влияния сво­бодных членов b i системы ограничений (неравенств) прямой задачи на величину

Решая ЗЛП симплекс-методом, мы одновременно решаем двой­ственную ЗЛП. Переменные двойственной задачи y i называют объективно обусловленными оценками.

Рассмотрим экономическую интерпретацию двойственной за­дачи на примере задачи о коврах.

Пример 1.2. Используя постановку задачи о коврах, выполнить следующие задания.

1. Сформулировать экономико-математическую модель задачи о коврах на максимум общей стоимости продукции, используя данные табл. 1.1.

2. Используя Поиск решения, найти такой план выпуска продук­ции, при котором общая стоимость продукции будет макси­мальной.

3. Сформулировать экономико-математическую модель двой­ственной задачи к задаче о коврах.

4. Найти оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности, пояснить равенство нулю Х 1 и Х 4 .

5. Используя протоколы Поиска решения, выполнить анализ по­лученного оптимального решения исходной задачи.

6. Определить, как изменится общая стоимость и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса труб на 12 ед.

1. Сформулируем экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через Х 1 , Х 2 , Х 3 , Х 4 число ковров каждого типа. Целевая функция имеет вид

F(X) = ЗХ 1 + 4Х 2 + ЗХ 3 + Х 4 max,

а ограничения по ресурсам

7Х 1 + 2Х 2 + 2Х 3 + 6Х 4 80,

5Х 1 + 8Х 2 + 4 Х 3 + ЗХ 4 480,

2Х 1 + 4 Х 2 + Х 3 + 8X 4 130,

Х 1 , X 2 , X 3 , Х 4 0.

2. Поиск оптимального плана выпуска.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск решения. Технология решения задачи была подробно рассмотрена в задаче о костюмах. В нашей задаче оптимальные значения вектора Х=(Х 1 , X 2 , X 3 , Х 4) будут помещены в ячейках ВЗ:ЕЗ, оптимальное значение целевой функции - в ячейке F4 .

Введем исходные данные. Сначала опишем целевую функцию с помощью функции - СУММПРОИЗВ (рис. 1.19). А потом введем данные для левых частей ограничений. В Поиске решения введем направление целевой функции, адреса искомых переменных, до­бавим ограничения. На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями (рис. 1.20).

После ввода параметров для решения ЗЛП следует нажать кнопку Выполнить. На экране появится сообщение, что решение найдено (рис. 1.21).

Полученное решение означает, что максимальный доход 150 тыс. руб. фабрика может получить при выпуске 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. При этом ресурсы «труд» и «оборудование» будут использованы полностью, а из 480 кг пряжи (ресурс «сырье») будет использовано 280 кг.

Создание отчета по результатам поиска решения. Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета (табл. 1.4). Существует три типа таких отчетов:

· Результаты (Answer). В отчет включаются исходные и конечные значения целевой и изменяемых ячеек, дополнительные све­дения об ограничениях.

· Устойчивость (Sensitivity). Отчет, содержащий сведения о чувстви­тельности решения к малым изменениям в изменяемых ячей­ках или в формулах ограничений.

· Пределы (Limits). Помимо исходных и конечных значений из­меняемых и целевой ячеек, в отчет включаются верхние и ниж­ние границы значений, которые могут принимать влияющие ячейки при соблюдении ограничений.

Графические методы связаны прежде всего с геометрическим изображением функциональной зависимости при помощи линий на плоскости. Графики используются для быстрого нахождения значения функций по соответствующему значению аргумента, для наглядного изображения функциональных зависимостей.
В экономическом анализе применяются почти все виды графиков: диаграммы сравнения, диаграммы временных рядов, кривые распределения, графики корреляционного поля, статистические картограммы. Особенно широко распространены в анализе диаграммы сравнения - для сравнения отчетных показателей с плановыми, предшествующих периодов и передовых предприятий отечественных или зарубежных. Для наглядного изображения динамики экономических явлений (а в анализе с динамическими рядами приходится иметь дело очень часто) используются диаграммы временных рядов.
С помощью координатной сетки строятся графики зависимости, например, уровня издержек от объема произведенной и реализованной продукции, а также. графики, на которых можно изображать и корреляционные связи между показателями. В системе осей координат изображение показывает влияние различных факторов на тот или иной показатель.
Широко применяется графический метод для исследования производственных процессов, организационных структур, процессов программирования и т. д. Например, для анализа эффективности использования производственного оборудования строятся расчетные графики, в том числе графики множественных факторов.

Обозначения: каждый круг считается одной из вершин графика; цифра в верхнем секторе каждой вершины означает ее порядковый номер; нз номеров двух соседних вершин складывается шифр работы; цифра в нижнем секторе каждой вершины является порядковым номером предшествующей вершины, а линия, соединяющая эти две вершины, означает определенную работу. Внизу под линией записана плановая продолжительность данной работы; цифра в левом секторе каждой вершины означает общую продолжительность всех предшествующих работ, цифра в правом секторе отличается от цифры в левом на величину резерва (запаса времени). Такнм образом, для вершин, лежащих на критическом пути, цифры в левом и правом секторах вершины совпадают, поскольку запас времени равен 0.

В математически формализованной системе анализа, планирования и управления особое место занимают сетевые графики. Они дают большой экономический эффект при строительстве и монтаже промышленных и других предприятий.
Сетевой график (рис. 6.1) позволяет выделить из всего комплекса работ наиболее важные, лежащие на критическом пути, и сосредоточить на них основные ресурсы строительномонтажных организаций, устанавливать взаимосвязь между различными специализированными организациями и координировать их работу. Работы, лежащие на критическом пути, требуют наиболее продолжительного ожидания поступления очередного события. На стадии оперативного анализа и управления сетевой график дает возможность осуществлять действенный контроль за ходом строительства, своевременно принимать меры по устранению возможных задержек в работе.
Применение сетевых графиков анализа, планирования и управления обеспечивает, как показывают многие примеры, сокращение сроков строительства на 20-30%, повышение производительности труда на 15-20%.
При анализе, осуществляемом непосредственно на стройках, использование материалов сетевого планирования и управления способствует правильному определению причин, влияющих на ход строительства, и выявлению предприятий, не обеспечивающих выполнение порученных им работ или поставку оборудования в сроки, установленные графиком.
Разработка сетевого графика в строительстве осуществляется при наличии: норм продолжительности строительства и срока ввода в действие объекта или комплекса объектов, проектно-сметной документации, проекта организации строительства и производства работ, типовых технологических карт, действующих норм затрат труда, материалов и работы машин. Кроме того, при составлении графика используются опыт выполнения отдельных работ, а также данные о производственной базе строительных и монтажных организаций.
На основе всех этих данных составляется таблица работ и ресурсов, где в технологической последовательности производства работ указываются их характеристика, объем, трудоемкость в человеко-днях, исполнитель (организация и бригада), численность рабочих, сменность, потребность в механизмах и материалах, источники их поступления, общая продолжительность выполнения работы в днях, а также предшествующее задание, после окончания которого можно начинать данную работу. Исходя из показателей такой таблицы, подготавливают сетевой график, который может иметь различную степень детализации в зависимости от принятой схемы произ
водства работ и уровня руководства; кроме общего графика исполнители разрабатывают график выполняемых ими работ.
Основные элементы сетевого графика: событие, работа, ожидание, зависимость.
При анализе хода строительства объекта следует устанавливать, правильно ли составлен сетевой график, не допущено ли при этом завышение критического пути, учтены ли при оптимизации графика все возможности его сокращения, нельзя ли какие-либо работы выполнять параллельно или сократить время, затрачиваемое на них, путем увеличения средств механизации и др. Это особенно важно в тех случаях, когда продолжительность работ по графику не обеспечивает окончание строительства в срок.
Основным материалом сетевого планирования, используемого при анализе, является информация о ходе работ по графику, который обычно составляется не реже одного раза в декаду. В качестве примера приводится карта задания и информации о ходе работы по объекту строительства, осуществляемому по сетевому графику (табл. 6.1). По данным карты, критические работы выполнялись в начале месяца с опережением графика, однако затем было допущено отставание монтажа подкрановых балок по ряду Б, а последующая работа - монтаж подкрановых балок по ряду А - закончена с отставанием на один день.
Оптимизация сетевых графиков осуществляется на стадии планирования посредством сокращения критического пути, т. е. минимизации сроков выполнения строительных работ при заданных уровнях ресурсов, минимизации уровня потребления материальных, трудовых и финансовых ресурсов при фиксированных сроках выполнения строительных работ. Возможен и смешанный подход: для одной части работ (более дорогостоящих) - минимизировать уровень потребления ресурсов при фиксированных сроках выполнения работ, для другой - минимизировать сроки при фиксированном уровне ресурсов.
Решение оптимизационных задач существенно облегчается наличием пакетов прикладных программ (ППП), приспособленных к составлению оптимальных сетевых графиков на ЭВМ.
В зарубежной практике системного анализа распространен графо-математический метод, получивший название «дерево решений». Суть этого метода заключается в следующем.
Путем предварительной оценки потребностей, предварительного анализа возможных организационных, технических или технологических условий намечаются все предполагаемые варианты решения данной задачи. Вначале разрабатываются

	Задание					Информация				Резерв времени по работам		Чис тый
Наименование работ	шифр	дата начала	дата оконча	плановая продол	Ре зерв вре	% тех-	требуемое время для	при чина	фактическая дата	находя щимся	не находящимся	резерв времени с
	работ	работ (план)	ния работ (план)	житель ность, дней	мени	кой готов ности	оконча ния работ, дней	задер жки	оконча ния работ	на критическом пути	аа критическом пути	начала месяца, дней
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Разработка грунта	1-2	1/IV	6/IV	5	0	100	-	-	6/IV	¦-	-	-
Бетонирование фундаментов под котлы	2-3	7/IV	17/1V	9	0	100	14/IV	2	2
Бетонирование фундаментов по ряду А	2-4	7/IV	14/1V	7	2	100	14/IV
То же по ряду Б	2-5	7/IV	14/IV	7	2	100	-	-	14/IV
Устройство трубной разводки	6-18	18/IV	21/IV	4	19	100	-	-	29/IV	-7
Устройство обратной засыпки	6-7	18/IV	19/IV	2	0	100	17/IV	2	2
Монтаж сборных железобетонных ко
лонн: по ряду Б	7-8	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	_	-	-
по ряду А	7-9	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	-	-	-

Устройство подкрановых путей и монтаж башенного крана 7-10
Установка опорных рам на фундамент под оборудование 7-16 Монтаж подкрановых балок:
по ряду Б 8-11
20/IV 24/IV 4
20/IV 24/IV 4
24/IV 25/IV 2

по ряду А 10-12 25/IV 26/IV
Монтаж первой части балок и плит покрытия 12-13 27/IV 4/V
Монтаж подкрановых путей мостового lt;3 крана 12-14 27/IV 3/V

6	7	8	9	10	11	12	13
0	100	-	-	22/IV	1	-	1
14	100.	-	-	29/IV	-	-5	-
1	100	за-	27/IV	-2

27/IV -1
держ- ка с поставкой ж/б конструкций

1. 100 -

укрупненные варианты. Затем по мере введения дополнительных условий каждый из них расчленяется на ряд вариантов. Графическое изображение этих вариантов позволяет исключить менее выгодные из них и избрать наиболее приемлемый.
Этот метод может найти у нас применение при определении порядка обработки тех или иных деталей на нескольких станках в целях минимизации общего времени обработки; при установлении размеров ресурсов для минимизации общих производственных издержек; при распределении капиталовложений и других ресурсов по промышленным объектам; при решении транспортных и других задач.

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи линейного программирования (1.2) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом - пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.2) ОДР является пустым множеством.

Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.2) включает равенства, поскольку любое равенство

можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис.2.1)

ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня .

Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см.рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ при и перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис.2.1). Направление вектора совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.

Рисунок 2.1 Геометрическая интерпретация ограничений и ЦФ задачи.

Методика решения задач ЛП графическим методом.

I. В ограничениях задачи (1.2) заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые.

II. Найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи (1.2). Для этого нужно подставить в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверить истинность полученного неравенства.

Если неравенство истинное,

то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку;

иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку и должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси и правее оси, т.е. в I-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой. Поэтому необходимо выделить на графике такие прямые.

III. Определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений.

IV. Если ОДР - не пустое множество, то нужно построить целевую прямую, т.е. любую из линий уровня (где L - произвольное число, например, кратное и, т.е. удобное для проведения расчетов). Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

V. Построить вектор, который начинается в точке (0;0) и заканчивается в точке. Если целевая прямая и вектор построены верно, то они будут перпендикулярны .

VI. При поиске максимума ЦФ необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора, при поиске минимума ЦФ - против направления вектора. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то можно сделать вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимум).

VII. Определить координаты точки max (min) ЦФ и вычислить значение ЦФ. Для вычисления координат оптимальной точки необходимо решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится.